Theorem hstrlem3a 10187

Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state.

Hypothesis

Ref	Expression
hstrlem3a.1	|- S = {<.x, y>. | (x e. CH /\ y = ((proj` x)` u))}

Assertion

Ref	Expression
hstrlem3a	|- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> S e. CHStates)

Distinct variable group:   x,u,y

Proof of Theorem hstrlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhclt 9243	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ u e. H~) -> ((proj` x)` u) e. H~)
2	1	adantrr 395	. . . . . 6 |- ((x e. CH /\ (u e. H~ /\ (normh` u) = 1)) -> ((proj` x)` u) e. H~)
3	2	expcom 374	. . . . 5 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (x e. CH -> ((proj` x)` u) e. H~))
4	3	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> A.x e. CH ((proj` x)` u) e. H~)
5		hstrlem3a.1	. . . . 5 |- S = {<.x, y>. | (x e. CH /\ y = ((proj` x)` u))}
6	5	fopab2 3823	. . . 4 |- (A.x e. CH ((proj` x)` u) e. H~ <-> S:CH-->H~)
7	4, 6	sylib 198	. . 3 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> S:CH-->H~)
8		pjch1t 9615	. . . . . 6 |- (u e. H~ -> ((proj` H~)` u) = u)
9	8	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (u e. H~ -> (normh` ((proj` H~)` u)) = (normh` u))
10		id 59	. . . . 5 |- ((normh` u) = 1 -> (normh` u) = 1)
11	9, 10	sylan9eq 1527	. . . 4 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (normh` ((proj` H~)` u)) = 1)
12		helch 9116	. . . . . 6 |- H~ e. CH
13	5	hstrlem2 10186	. . . . . 6 |- (H~ e. CH -> (S` H~) = ((proj` H~)` u))
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (S` H~) = ((proj` H~)` u)
15	14	fveq2i 3727	. . . 4 |- (normh` (S` H~)) = (normh` ((proj` H~)` u))
16	11, 15	syl5eq 1519	. . 3 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (normh` (S` H~)) = 1)
17	5	hstrlem2 10186	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CH -> (S` z) = ((proj` z)` u))
18	5	hstrlem2 10186	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. CH -> (S` w) = ((proj` w)` u))
19	17, 18	opreqan12d 3979	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> ((S` z) .ih (S` w)) = (((proj` z)` u) .ih ((proj` w)` u)))
20	19	3adant3 799	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) -> ((S` z) .ih (S` w)) = (((proj` z)` u) .ih ((proj` w)` u)))
21	20	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> ((S` z) .ih (S` w)) = (((proj` z)` u) .ih ((proj` w)` u)))
22		pjoi0t 9662	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> (((proj` z)` u) .ih ((proj` w)` u)) = 0)
23	21, 22	eqtrd 1507	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> ((S` z) .ih (S` w)) = 0)
24		pjcjt2 9637	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) -> (z (_ (_|_` w) -> ((proj` (z vH w))` u) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u))))
25	24	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> ((proj` (z vH w))` u) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))
26		chjclt 9329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> (z vH w) e. CH)
27	5	hstrlem2 10186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z vH w) e. CH -> (S` (z vH w)) = ((proj` (z vH w))` u))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> (S` (z vH w)) = ((proj` (z vH w))` u))
29	28	3adant3 799	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) -> (S` (z vH w)) = ((proj` (z vH w))` u))
30	29	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> (S` (z vH w)) = ((proj` (z vH w))` u))
31	17, 18	opreqan12d 3979	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> ((S` z) +h (S` w)) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))
32	31	3adant3 799	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) -> ((S` z) +h (S` w)) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))
33	32	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> ((S` z) +h (S` w)) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))
34	25, 30, 33	3eqtr4d 1517	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w)))
35	23, 34	jca 288	. . . . . . . 8 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. H~) /\ z (_ (_|_` w)) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w))))
36	35	3exp1 849	. . . . . . 7 |- (z e. CH -> (w e. CH -> (u e. H~ -> (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w)))))))
37	36	com3r 35	. . . . . 6 |- (u e. H~ -> (z e. CH -> (w e. CH -> (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w)))))))
38	37	adantr 389	. . . . 5 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (z e. CH -> (w e. CH -> (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w)))))))
39	38	r19.21adv 1718	. . . 4 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (z e. CH -> A.w e. CH (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w))))))
40	39	r19.21aiv 1713	. . 3 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> A.z e. CH A.w e. CH (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w)))))
41	7, 16, 40	3jca 819	. 2 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> (S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.z e. CH A.w e. CH (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w))))))
42		hstelt 10142	. 2 |- (S e. CHStates <-> (S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.z e. CH A.w e. CH (z (_ (_|_` w) -> (((S` z) .ih (S` w)) = 0 /\ (S` (z vH w)) = ((S` z) +h (S` w))))))
43	41, 42	sylibr 200	1 |- ((u e. H~ /\ (normh` u) = 1) -> S e. CHStates)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  1c1 5235  H~chil 8788   +h cva 8789   .ih csp 8793  normhcno 8794  CHcch 8798  _|_cort 8799   vH chj 8802  projcpj 8806  CHStateschst 8832

This theorem is referenced by:  hstrlem3 10188

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we