MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htth Unicode version

Theorem htth 21490
Description: Hellinger-Toeplitz Theorem: any self-adjoint linear operator defined on all of Hilbert space is bounded. Theorem 10.1-1 of [Kreyszig] p. 525. Discovered by E. Hellinger and O. Toeplitz in 1910, "it aroused both admiration and puzzlement since the theorem establishes a relation between properties of two different kinds, namely, the properties of being defined everywhere and being bounded." (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
Assertion
Ref Expression
htth  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, T    x, U, y    x, X, y
Dummy variables  w  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( x, y)    P( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem htth
StepHypRef Expression
1 htth.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
2 oveq12 5828 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  LnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
32anidms 628 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  U
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
41, 3syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
54eleq2d 2351 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
6 htth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fveq2 5485 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
86, 7syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
9 htth.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
10 fveq2 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .i OLD `  U
)  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
119, 10syl5eq 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1211oveqd 5836 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) ) )
1311oveqd 5836 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T `  x ) P y )  =  ( ( T `  x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
1412, 13eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <-> 
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) ) )
158, 14raleqbidv 2749 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. y  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
168, 15raleqbidv 2749 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
175, 16anbi12d 693 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) ) )
18 htth.4 . . . . . 6  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
19 oveq12 5828 . . . . . . 7  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2019anidms 628 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2118, 20syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  B  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  B  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
2317, 22imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )  <->  ( ( T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
24 eqid 2284 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2284 . . . 4  |-  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2284 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 eqid 2284 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 eqid 2284 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
29 eqid 2284 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3029cnchl 21487 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CHil OLD
3130elimel 3618 . . . 4  |-  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CHil OLD
32 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
33 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
34 oveq1 5826 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) ) )
35 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( T `  x )  =  ( T `  u ) )
3635oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
( T `  x
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) )
3734, 36eqeq12d 2298 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
38 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( T `  y )  =  ( T `  v ) )
3938oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
u ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  v ) ) )
40 oveq2 5827 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
( T `  u
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) v ) )
4139, 40eqeq12d 2298 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) ) )
4237, 41cbvral2v 2773 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y )  <->  A. u  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
4333, 42sylib 190 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. u  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
44 oveq1 5826 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  x ) ) )
4544cbvmptv 4112 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )
46 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
4746oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
w ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  z ) ) )
4847mpteq2dv 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
4945, 48syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
5049cbvmptv 4112 . . . 4  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) )  =  ( z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
51 fveq2 5485 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  =  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )
)
5251breq1d 4034 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  x
)  <_  1  <->  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 ) )
5352cbvrabv 2788 . . . . 5  |-  { x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |  ( (
normCV
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 }  =  {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 }
5453imaeq2i 5009 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 } )  =  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 } )
5524, 25, 26, 27, 28, 31, 29, 32, 43, 50, 54htthlem 21489 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
5623, 55dedth 3607 . 2  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
)
57563impib 1151 1  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   {crab 2548   ifcif 3566   <.cop 3644   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   "cima 4691   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    <_ cle 8863   abscabs 11713   BaseSetcba 21134   normCVcnmcv 21138   .i OLDcdip 21265    LnOp clno 21310    BLnOp cblo 21312   CHil OLDchlo 21456
This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  22560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-dc 8067  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-t1 17036  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-fcls 17630  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-lno 21314  df-nmoo 21315  df-blo 21316  df-0o 21317  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hlo 21457
  Copyright terms: Public domain W3C validator