MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htth Unicode version

Theorem htth 22409
Description: Hellinger-Toeplitz Theorem: any self-adjoint linear operator defined on all of Hilbert space is bounded. Theorem 10.1-1 of [Kreyszig] p. 525. Discovered by E. Hellinger and O. Toeplitz in 1910, "it aroused both admiration and puzzlement since the theorem establishes a relation between properties of two different kinds, namely, the properties of being defined everywhere and being bounded." (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
Assertion
Ref Expression
htth  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, T    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    P( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem htth
Dummy variables  w  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htth.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
2 oveq12 6081 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  LnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
32anidms 627 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  U
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
41, 3syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
54eleq2d 2502 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
6 htth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
86, 7syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
9 htth.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
10 fveq2 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .i OLD `  U
)  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
119, 10syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1211oveqd 6089 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) ) )
1311oveqd 6089 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T `  x ) P y )  =  ( ( T `  x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
1412, 13eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <-> 
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) ) )
158, 14raleqbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. y  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
168, 15raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
175, 16anbi12d 692 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) ) )
18 htth.4 . . . . . 6  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
19 oveq12 6081 . . . . . . 7  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2019anidms 627 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2118, 20syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  B  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eleq2d 2502 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  B  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
2317, 22imbi12d 312 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )  <->  ( ( T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
24 eqid 2435 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2435 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 eqid 2435 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 eqid 2435 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
29 eqid 2435 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3029cnchl 22406 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CHil OLD
3130elimel 3783 . . . 4  |-  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CHil OLD
32 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
33 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
34 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) ) )
35 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( T `  x )  =  ( T `  u ) )
3635oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
( T `  x
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) )
3734, 36eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
38 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( T `  y )  =  ( T `  v ) )
3938oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
u ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  v ) ) )
40 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
( T `  u
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) v ) )
4139, 40eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) ) )
4237, 41cbvral2v 2932 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y )  <->  A. u  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
4333, 42sylib 189 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. u  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
44 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  x ) ) )
4544cbvmptv 4292 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )
46 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
4746oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
w ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  z ) ) )
4847mpteq2dv 4288 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
4945, 48syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
5049cbvmptv 4292 . . . 4  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) )  =  ( z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
51 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  =  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )
)
5251breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  x
)  <_  1  <->  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 ) )
5352cbvrabv 2947 . . . . 5  |-  { x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |  ( (
normCV
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 }  =  {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 }
5453imaeq2i 5192 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 } )  =  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 } )
5524, 25, 26, 27, 28, 31, 29, 32, 43, 50, 54htthlem 22408 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
5623, 55dedth 3772 . 2  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
)
57563impib 1151 1  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   ifcif 3731   <.cop 3809   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   "cima 4872   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    <_ cle 9110   abscabs 12027   BaseSetcba 22053   normCVcnmcv 22057   .i OLDcdip 22184    LnOp clno 22229    BLnOp cblo 22231   CHil OLDchlo 22375
This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  23479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-dc 8315  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-t1 17366  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-fcls 17961  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-lno 22233  df-nmoo 22234  df-blo 22235  df-0o 22236  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hlo 22376
  Copyright terms: Public domain W3C validator