MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htth Unicode version

Theorem htth 21423
Description: Hellinger-Toeplitz Theorem: any self-adjoint linear operator defined on all of Hilbert space is bounded. Theorem 10.1-1 of [Kreyszig] p. 525. Discovered by E. Hellinger and O. Toeplitz in 1910, "it aroused both admiration and puzzlement since the theorem establishes a relation between properties of two different kinds, namely, the properties of being defined everywhere and being bounded." (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
Assertion
Ref Expression
htth  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, T    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    P( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem htth
StepHypRef Expression
1 htth.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
2 oveq12 5766 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  LnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
32anidms 629 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  U
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
41, 3syl5eq 2300 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
54eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
6 htth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fveq2 5423 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
86, 7syl5eq 2300 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
9 htth.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
10 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .i OLD `  U
)  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
119, 10syl5eq 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1211oveqd 5774 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) ) )
1311oveqd 5774 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T `  x ) P y )  =  ( ( T `  x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
1412, 13eqeq12d 2270 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <-> 
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) ) )
158, 14raleqbidv 2708 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. y  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
168, 15raleqbidv 2708 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
175, 16anbi12d 694 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) ) )
18 htth.4 . . . . . 6  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
19 oveq12 5766 . . . . . . 7  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2019anidms 629 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2118, 20syl5eq 2300 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  B  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eleq2d 2323 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  B  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
2317, 22imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )  <->  ( ( T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
24 eqid 2256 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2256 . . . 4  |-  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2256 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 eqid 2256 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 eqid 2256 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
29 eqid 2256 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3029cnchl 21420 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CHil OLD
3130elimel 3558 . . . 4  |-  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CHil OLD
32 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
33 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
34 oveq1 5764 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) ) )
35 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( T `  x )  =  ( T `  u ) )
3635oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
( T `  x
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) )
3734, 36eqeq12d 2270 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
38 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( T `  y )  =  ( T `  v ) )
3938oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
u ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  v ) ) )
40 oveq2 5765 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
( T `  u
) ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) v ) )
4139, 40eqeq12d 2270 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( u ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  u ) ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) ) )
4237, 41cbvral2v 2724 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y )  <->  A. u  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
4333, 42sylib 190 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. u  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
44 oveq1 5764 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  x ) ) )
4544cbvmptv 4051 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )
46 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
4746oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
w ( .i OLD `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .i
OLD `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  z ) ) )
4847mpteq2dv 4047 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
4945, 48syl5eq 2300 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
5049cbvmptv 4051 . . . 4  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) )  =  ( z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
51 fveq2 5423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  =  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )
)
5251breq1d 3973 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  x
)  <_  1  <->  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 ) )
5352cbvrabv 2739 . . . . 5  |-  { x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |  ( (
normCV
`  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 }  =  {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 }
5453imaeq2i 4963 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 } )  =  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 } )
5524, 25, 26, 27, 28, 31, 29, 32, 43, 50, 54htthlem 21422 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
5623, 55dedth 3547 . 2  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
)
57563impib 1154 1  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   {crab 2519   ifcif 3506   <.cop 3584   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   "cima 4629   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    <_ cle 8801   abscabs 11649   BaseSetcba 21067   normCVcnmcv 21071   .i OLDcdip 21198    LnOp clno 21243    BLnOp cblo 21245   CHil OLDchlo 21389
This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  22493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-dc 8005  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-t1 16969  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-fcls 17563  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-lno 21247  df-nmoo 21248  df-blo 21249  df-0o 21250  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hlo 21390
  Copyright terms: Public domain W3C validator