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Theorem htthlem 21497
Description: Lemma for htth 21498. The collection  K, which consists of functions  F ( z ) ( w )  =  <. w  |  T
( z ) >.  =  <. T ( w )  |  z >. for each  z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 21434, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 21452, there is a uniform bound  y on  ||  F ( x )  || for all  x in the unit ball. Then  |  T (
x )  |  ^
2  =  <. T ( x )  |  T
( x ) >.  =  F ( x ) (  T ( x ) )  <_  y  |  T ( x )  |, so  |  T ( x )  |  <_  y and 
T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
htthlem.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
htthlem.6  |-  U  e. 
CHil OLD
htthlem.7  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
htthlem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
htthlem.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
htthlem.10  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
htthlem.11  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
Assertion
Ref Expression
htthlem  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    y, w, F    x, w, z, K, y    w, N, x, y, z    w, P, z    w, W, x, y, z    ph, w, x, y, z    w, T, x, y, z    w, U, x, y, z    w, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w)    P( x, y)    F( x, z)    L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
CHil OLD
32hlnvi 21471 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
64, 4, 5lnof 21333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> X )
73, 3, 6mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> X )
81, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : X --> X )
9 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : X --> X  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x
)  e.  X )
108, 9sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  e.  X )
11 htthlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
124, 11nvcl 21225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
133, 10, 12sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
14 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T : X --> X  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z
)  e.  X )
158, 14sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z )  e.  X )
16 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
17 hlph 21468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e.  CPreHil
OLD )
182, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  e.  CPreHil
OLD
19 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z
) ) )
224, 16, 18, 19, 20, 21ipblnfi 21434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  z )  e.  X  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
2315, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
24 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
2523, 24fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( U 
BLnOp  W ) )
26 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  Fun  F )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Fun  F )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  K )
30 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
3129, 30syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )
32 fvelima 5574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3328, 31, 32syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  w  e.  K )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3433ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w ) )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( N `  z )  =  ( N `  y ) )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  y )  <_  1
) )
3736elrab 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  ( T `  z )  =  ( T `  y ) )
3938oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  y
) ) )
4039mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  y  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) )
414hlex 21477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X  e. 
_V
4241mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  e.  _V
4340, 24, 42fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) ) )
4443fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `
 x ) )
45 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
w P ( T `
 y ) )  =  ( x P ( T `  y
) ) )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) )
47 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x P ( T `  y ) )  e. 
_V
4845, 46, 47fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4944, 48sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( F `  y ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
5049ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( x P ( T `
 y ) ) )
51 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
52 rsp2 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) ) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) ) )
5453impl 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )
5554adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5650, 55eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5756fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  =  ( abs `  ( ( T `  x ) P y ) ) )
58 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
y  e.  X )
594, 16dipcl 21288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P y )  e.  CC )
603, 59mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) P y )  e.  CC )
6110, 58, 60syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( T `
 x ) P y )  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  e.  RR )
6313adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
644, 11nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
653, 64mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  X  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6763, 66remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  e.  RR )
684, 11, 16, 18sii 21432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
6910, 58, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
70 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
724, 11nvge0 21240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
733, 10, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
7413, 73jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N `  ( T `  x )
) ) )
76 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  <_  1
)
77 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 y ) )  <_  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 ) )
7866, 71, 75, 76, 77syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  (
( N `  ( T `  x )
)  x.  1 ) )
7963recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  CC )
8079mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 )  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )
8178, 80breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
8262, 67, 63, 69, 81letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8357, 82eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8437, 83sylan2b 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  <_ 
( N `  ( T `  x )
) )
85 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( w `  x ) )
8685fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  =  ( abs `  (
w `  x )
) )
8786breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) )  <->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8884, 87syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8988rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9034, 89syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9190ralrimiv 2625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
92 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9392ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9493rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9513, 91, 94syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9695ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  z )
97 imassrn 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } )  C_  ran  F
9830, 97eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  K  C_  ran  F
99 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  ran  F 
C_  ( U  BLnOp  W ) )
10025, 99syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( U  BLnOp  W ) )
10198, 100syl5ss 3190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )
102 hlobn 21467 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e. 
CBan )
1032, 102ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
CBan
10419cnnv 21245 . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
10519cnnvnm 21250 . . . . . . . . 9  |-  abs  =  ( normCV `  W )
106 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
1074, 105, 106ubth 21452 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y
) )
108103, 104, 107mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  (
( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y ) )
109101, 108syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y
) )
11096, 109mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y )
111 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e.  X  /\  ( N `
 x )  <_ 
1 ) )
112 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  z )  =  ( N `  x ) )
113112breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  x )  <_  1
) )
114113elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )
115111, 114sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
116 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  dom  F  =  X )
11725, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118117eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  X ) )
119118biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  F )
120 funfvima 5753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } ) ) )
12127, 120sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
122119, 121syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
123122ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
124115, 123mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) )
125124, 30syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  K
)
126 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  w )  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  ( F `  x ) ) )
127126breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  <->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
)
128127rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  e.  K  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  <_ 
y ) )
129125, 128syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
13013ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  RR )
131130, 130remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
132 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
13325, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
13419cnnvba 21247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  ( BaseSet `  W )
1354, 134, 106, 20nmblore 21364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
1363, 104, 135mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
137133, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
138137ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
139138, 130remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
140 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
141140, 130remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
142 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  ( T `  z )  =  ( T `  x ) )
143142oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  x
) ) )
144143mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) )
14541mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  e.  _V
146144, 24, 145fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
147146adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
148147fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) `  ( T `  x ) ) )
149 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( T `  x )  ->  (
w P ( T `
 x ) )  =  ( ( T `
 x ) P ( T `  x
) ) )
150 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) )
151 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  e. 
_V
152149, 150, 151fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T `  x )  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
15310, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
154148, 153eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
155154ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( T `  x
) P ( T `
 x ) ) )
15610ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( T `  x )  e.  X
)
1574, 11, 16ipidsq 21286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P ( T `
 x ) )  =  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )
1583, 156, 157sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
159155, 158eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )
160159fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( abs `  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
161 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  (
( N `  ( T `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
162 sqge0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
163161, 162absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
164130, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) )
165130recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  CC )
166165sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
167160, 164, 1663eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
168133ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)
1694, 11, 105, 106, 20, 3, 104nmblolbi 21378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x ) `  ( T `  x ) ) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
170168, 156, 169syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
171167, 170eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
1723, 156, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( N `  ( T `
 x ) ) )
173 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
174138, 140, 130, 172, 173lemul1ad 9696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
175131, 139, 141, 171, 174letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
176 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  y  <->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) ) )
177176biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  y )
)
1781773expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  ( T `  x )
) )  ->  (
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
179178expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
180130, 140, 130, 179syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
181175, 180mpid 37 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
182 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
183182a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  e.  RR )
1844, 134, 20blof 21363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1853, 104, 184mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
186133, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
187186ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1884, 134, 106nmooge0 21345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x ) : X --> CC )  ->  0  <_ 
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
) )
1893, 104, 188mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x ) : X --> CC  ->  0  <_  ( ( U
normOp OLD W ) `  ( F `  x ) ) )
190187, 189syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( ( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) ) )
191183, 138, 140, 190, 173letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  y )
192 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
193191, 192syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
194 leloe 8908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
195182, 130, 194sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
196172, 195mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) )
197181, 193, 196mpjaod 370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
)
198197expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
199198adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
200129, 199syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  y )
)
201200expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
202201com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
203202ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  K  (
( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) ) )
204203reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
205110, 204mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
206 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD U )  =  ( U normOp OLD U
)
2074, 4, 11, 11, 206, 3, 3nmobndi 21353 . . . . 5  |-  ( T : X --> X  -> 
( ( ( U
normOp OLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
2088, 207syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
normOp OLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
209205, 208mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T
)  e.  RR )
210 ltpnf 10463 . . 3  |-  ( ( ( U normOp OLD U
) `  T )  e.  RR  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T )  <  +oo )
211209, 210syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T
)  <  +oo )
212 htth.4 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
213206, 5, 212isblo 21360 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD U
) `  T )  <  +oo ) ) )
2143, 3, 213mp2an 653 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD U
) `  T )  <  +oo ) )
2151, 211, 214sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   ^cexp 11104   abscabs 11719   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   normCVcnmcv 21146   .i OLDcdip 21273    LnOp clno 21318   normOp OLDcnmoo 21319    BLnOp cblo 21320   CPreHil OLDccphlo 21390   CBanccbn 21441   CHil
OLDchlo 21464
This theorem is referenced by:  htth  21498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-dc 8072  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-t1 17042  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-fcls 17636  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-blo 21324  df-0o 21325  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hlo 21465
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