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Theorem htthlem 21457
Description: Lemma for htth 21458. The collection  K, which consists of functions  F ( z ) ( w )  =  <. w  |  T
( z ) >.  =  <. T ( w )  |  z >. for each  z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 21394, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 21412, there is a uniform bound  y on  ||  F ( x )  || for all  x in the unit ball. Then  |  T (
x )  |  ^
2  =  <. T ( x )  |  T
( x ) >.  =  F ( x ) (  T ( x ) )  <_  y  |  T ( x )  |, so  |  T ( x )  |  <_  y and 
T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
htthlem.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
htthlem.6  |-  U  e. 
CHil OLD
htthlem.7  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
htthlem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
htthlem.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
htthlem.10  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
htthlem.11  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
Assertion
Ref Expression
htthlem  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    y, w, F    x, w, z, K, y    w, N, x, y, z    w, P, z    w, W, x, y, z    ph, w, x, y, z    w, T, x, y, z    w, U, x, y, z    w, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w)    P( x, y)    F( x, z)    L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
CHil OLD
32hlnvi 21431 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
64, 4, 5lnof 21293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> X )
73, 3, 6mp3an12 1272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> X )
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : X --> X )
9 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : X --> X  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x
)  e.  X )
108, 9sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  e.  X )
11 htthlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
124, 11nvcl 21185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
133, 10, 12sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
14 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T : X --> X  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z
)  e.  X )
158, 14sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z )  e.  X )
16 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
17 hlph 21428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e.  CPreHil
OLD )
182, 17ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  e.  CPreHil
OLD
19 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
20 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
21 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z
) ) )
224, 16, 18, 19, 20, 21ipblnfi 21394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  z )  e.  X  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
24 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
2523, 24fmptd 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( U 
BLnOp  W ) )
26 ffun 5329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  Fun  F )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Fun  F )
29 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  K )
30 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
3129, 30syl6eleq 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )
32 fvelima 5508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3328, 31, 32syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  w  e.  K )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3433ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w ) )
35 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( N `  z )  =  ( N `  y ) )
3635breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  y )  <_  1
) )
3736elrab 2898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )
38 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  ( T `  z )  =  ( T `  y ) )
3938oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  y
) ) )
4039mpteq2dv 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  y  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) )
414hlex 21437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X  e. 
_V
4241mptex 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  e.  _V
4340, 24, 42fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) ) )
4443fveq1d 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `
 x ) )
45 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
w P ( T `
 y ) )  =  ( x P ( T `  y
) ) )
46 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) )
47 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x P ( T `  y ) )  e. 
_V
4845, 46, 47fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4944, 48sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( F `  y ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
5049ad2ant2lr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( x P ( T `
 y ) ) )
51 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
52 ra42 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) ) )
5453impl 606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )
5554adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5650, 55eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5756fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  =  ( abs `  ( ( T `  x ) P y ) ) )
58 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
y  e.  X )
594, 16dipcl 21248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P y )  e.  CC )
603, 59mp3an1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) P y )  e.  CC )
6110, 58, 60syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( T `
 x ) P y )  e.  CC )
6261abscld 11883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  e.  RR )
6313adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
644, 11nvcl 21185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
653, 64mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  X  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6665ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6763, 66remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  e.  RR )
684, 11, 16, 18sii 21392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
6910, 58, 68syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
70 1re 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
7170a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
724, 11nvge0 21200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
733, 10, 72sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
7413, 73jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
7574adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N `  ( T `  x )
) ) )
76 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  <_  1
)
77 lemul2a 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 y ) )  <_  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 ) )
7866, 71, 75, 76, 77syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  (
( N `  ( T `  x )
)  x.  1 ) )
7963recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  CC )
8079mulid1d 8820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 )  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )
8178, 80breqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
8262, 67, 63, 69, 81letrd 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8357, 82eqbrtrd 4017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8437, 83sylan2b 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  <_ 
( N `  ( T `  x )
) )
85 fveq1 5457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( w `  x ) )
8685fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  =  ( abs `  (
w `  x )
) )
8786breq1d 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) )  <->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8884, 87syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8988rexlimdva 2642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9034, 89syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9190ralrimiv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
92 breq2 4001 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9392ralbidv 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9493rcla4ev 2859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9513, 91, 94syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9695ralrimiva 2601 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  z )
97 imassrn 5013 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } )  C_  ran  F
9830, 97eqsstri 3183 . . . . . . . 8  |-  K  C_  ran  F
99 frn 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  ran  F 
C_  ( U  BLnOp  W ) )
10025, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( U  BLnOp  W ) )
10198, 100syl5ss 3165 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )
102 hlobn 21427 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e. 
CBan )
1032, 102ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
CBan
10419cnnv 21205 . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
10519cnnvnm 21210 . . . . . . . . 9  |-  abs  =  ( normCV `  W )
106 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
1074, 105, 106ubth 21412 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y
) )
108103, 104, 107mp3an12 1272 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  (
( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y ) )
109101, 108syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y
) )
11096, 109mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y )
111 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e.  X  /\  ( N `
 x )  <_ 
1 ) )
112 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  z )  =  ( N `  x ) )
113112breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  x )  <_  1
) )
114113elrab 2898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )
115111, 114sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
116 fdm 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  dom  F  =  X )
11725, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118117eleq2d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  X ) )
119118biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  F )
120 funfvima 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } ) ) )
12127, 120sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
122119, 121syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
123122ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
124115, 123mpd 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) )
125124, 30syl6eleqr 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  K
)
126 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  w )  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  ( F `  x ) ) )
127126breq1d 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  <->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
)
128127rcla4v 2855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  e.  K  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  <_ 
y ) )
129125, 128syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
13013ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  RR )
131130, 130remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
132 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
13325, 132sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
13419cnnvba 21207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  ( BaseSet `  W )
1354, 134, 106, 20nmblore 21324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
1363, 104, 135mp3an12 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
137133, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
138137ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
139138, 130remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
140 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
141140, 130remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
142 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  ( T `  z )  =  ( T `  x ) )
143142oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  x
) ) )
144143mpteq2dv 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) )
14541mptex 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  e.  _V
146144, 24, 145fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
147146adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
148147fveq1d 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) `  ( T `  x ) ) )
149 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( T `  x )  ->  (
w P ( T `
 x ) )  =  ( ( T `
 x ) P ( T `  x
) ) )
150 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) )
151 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  e. 
_V
152149, 150, 151fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T `  x )  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
15310, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
154148, 153eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
155154ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( T `  x
) P ( T `
 x ) ) )
15610ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( T `  x )  e.  X
)
1574, 11, 16ipidsq 21246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P ( T `
 x ) )  =  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )
1583, 156, 157sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
159155, 158eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )
160159fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( abs `  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
161 resqcl 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  (
( N `  ( T `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
162 sqge0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
163161, 162absidd 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
164130, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) )
165130recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  CC )
166165sqvald 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
167160, 164, 1663eqtrd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
168133ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)
1694, 11, 105, 106, 20, 3, 104nmblolbi 21338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x ) `  ( T `  x ) ) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
170168, 156, 169syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
171167, 170eqbrtrrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
1723, 156, 72sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( N `  ( T `
 x ) ) )
173 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
174138, 140, 130, 172, 173lemul1ad 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
175131, 139, 141, 171, 174letrd 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
176 lemul1 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  y  <->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) ) )
177176biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  y )
)
1781773expia 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  ( T `  x )
) )  ->  (
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
179178expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
180130, 140, 130, 179syl21anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
181175, 180mpid 39 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
182 0re 8806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
183182a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  e.  RR )
1844, 134, 20blof 21323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1853, 104, 184mp3an12 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
186133, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
187186ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1884, 134, 106nmooge0 21305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x ) : X --> CC )  ->  0  <_ 
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
) )
1893, 104, 188mp3an12 1272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x ) : X --> CC  ->  0  <_  ( ( U
normOp OLD W ) `  ( F `  x ) ) )
190187, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( ( U normOp OLD W
) `  ( F `  x ) ) )
191183, 138, 140, 190, 173letrd 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  y )
192 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
193191, 192syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
194 leloe 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
195182, 130, 194sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
196172, 195mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) )
197181, 193, 196mpjaod 372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
)
198197expr 601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
199198adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
200129, 199syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  y )
)
201200expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
202201com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOp OLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
203202ralrimdva 2608 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  K  (
( U normOp OLD W
) `  w )  <_  y  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) ) )
204203reximdva 2630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOp OLD W ) `  w )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
205110, 204mpd 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
206 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD U )  =  ( U normOp OLD U
)
2074, 4, 11, 11, 206, 3, 3nmobndi 21313 . . . . 5  |-  ( T : X --> X  -> 
( ( ( U
normOp OLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
2088, 207syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
normOp OLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
209205, 208mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T
)  e.  RR )
210 ltpnf 10430 . . 3  |-  ( ( ( U normOp OLD U
) `  T )  e.  RR  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T )  <  +oo )
211209, 210syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U normOp OLD U ) `  T
)  <  +oo )
212 htth.4 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
213206, 5, 212isblo 21320 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD U
) `  T )  <  +oo ) ) )
2143, 3, 213mp2an 656 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD U
) `  T )  <  +oo ) )
2151, 211, 214sylanbrc 648 1  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522    C_ wss 3127   <.cop 3617   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   ran crn 4662   "cima 4664   Fun wfun 4667   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    < clt 8835    <_ cle 8836   2c2 9763   ^cexp 11070   abscabs 11684   NrmCVeccnv 21100   BaseSetcba 21102   normCVcnmcv 21106   .i OLDcdip 21233    LnOp clno 21278   normOp OLDcnmoo 21279    BLnOp cblo 21280   CPreHil OLDccphlo 21350   CBanccbn 21401   CHil
OLDchlo 21424
This theorem is referenced by:  htth  21458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-dc 8040  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-lm 16921  df-t1 17004  df-haus 17005  df-cmp 17076  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-fcls 17598  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-cfil 18643  df-cau 18644  df-cmet 18645  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-gdiv 20821  df-ablo 20909  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-vs 21115  df-nmcv 21116  df-ims 21117  df-dip 21234  df-lno 21282  df-nmoo 21283  df-blo 21284  df-0o 21285  df-ph 21351  df-cbn 21402  df-hlo 21425
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