Theorem htthlem1 8563

Description: Lemma for htthi 8575. Closure of values of an operator T on an auxiliary sequence of vectors f.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem1.1	|- X = (Base` U)
htthlem1.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem1.u	|- U e. CHil
htthlem1.t	|- T e. L

Assertion

Ref	Expression
htthlem1	|- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)

Proof of Theorem htthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3805	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
2		htthlem1.u	. . . . 5 |- U e. CHil
3	2	hlnvi 8540	. . . 4 |- U e. NrmCVec
4		htthlem1.t	. . . 4 |- T e. L
5		htthlem1.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
6		htthlem1.l	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
7	5, 5, 6	lnof 8363	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->X)
8	3, 3, 4, 7	mp3an 914	. . 3 |- T:X-->X
9	8	ffvelrni 3806	. 2 |- ((f` k) e. X -> (T` (f` k)) e. X)
10	1, 9	syl 10	1 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  NNcn 5276  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157   LnOp clno 8348  CHilchl 8533

This theorem is referenced by:  htthlem5 8567  htthlem9 8571  htthlem10 8572  htthlem12 8574

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-lno 8352  df-bn 8467  df-hl 8534

Copyright terms: Public domain