Theorem htthlem11 8588

Description: Lemma for htthi 8590. Use the Uniform Boundedness Theorem ubthi 8503 to show that the functional F` k is bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem11	|- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.d e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ d)

Distinct variable groups:   v,u,x,y   k,d,C   D,d,k   F,d,k   f,k,N   O,d   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   u,d,v,U,k   f,d,m,w,x,y,X,k,u,v

Proof of Theorem htthlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		htthlem3.c	. . . 4 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
3	2	cnnvnm 8276	. . 3 |- abs = (norm` C)
4		htthlem3.o	. . 3 |- O = (UnormOpC)
5		htthlem3.d	. . 3 |- D = (U BLnOp C)
6		htthlem3.u	. . . 4 |- U e. CHil
7		hlbn 8551	. . . 4 |- (U e. CHil -> U e. CBan)
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- U e. CBan
9	2	cnnv 8271	. . 3 |- C e. NrmCVec
10	1, 3, 4, 5, 8, 9	ubthi 8503	. 2 |- ((F:NN-->D /\ A.z e. X E.c e. RR A.k e. NN (abs` ((F` k)` z)) <_ c) -> E.d e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ d)
11		fvex 3727	. . . . . . . . 9 |- (Base` U) e. V
12	1, 11	eqeltr 1542	. . . . . . . 8 |- X e. V
13	12	opabex2 3606	. . . . . . 7 |- {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))} e. V
14		htthlem3.f	. . . . . . 7 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
15	13, 14	fnopab2 3614	. . . . . 6 |- F Fn NN
16	15	a1i 8	. . . . 5 |- (f:NN-->X -> F Fn NN)
17		htthlem3.p	. . . . . . 7 |- P = (.i` U)
18		htthlem3.l	. . . . . . 7 |- L = (U LnOp U)
19		htthlem3.b	. . . . . . 7 |- B = (U BLnOp U)
20		htthlem3.t	. . . . . . 7 |- T e. L
21		htthlem3.a	. . . . . . 7 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
22		htthlem3.n	. . . . . . 7 |- N = (norm` U)
23	1, 17, 18, 19, 6, 20, 21, 14, 2, 5, 22, 4	htthlem5 8582	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. D)
24	23	r19.21aiva 1712	. . . . 5 |- (f:NN-->X -> A.k e. NN (F` k) e. D)
25	16, 24	jca 288	. . . 4 |- (f:NN-->X -> (F Fn NN /\ A.k e. NN (F` k) e. D))
26		ffnfv 3823	. . . 4 |- (F:NN-->D <-> (F Fn NN /\ A.k e. NN (F` k) e. D))
27	25, 26	sylibr 200	. . 3 |- (f:NN-->X -> F:NN-->D)
28	27	adantr 389	. 2 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> F:NN-->D)
29	1, 17, 18, 19, 6, 20, 21, 14, 2, 5, 22, 4	htthlem7 8584	. . . . 5 |- (((z e. X /\ f:NN-->X) /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.c e. RR A.k e. NN (abs` ((F` k)` z)) <_ c)
30	29	ancom1s 490	. . . 4 |- (((f:NN-->X /\ z e. X) /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.c e. RR A.k e. NN (abs` ((F` k)` z)) <_ c)
31	30	an1rs 489	. . 3 |- (((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) /\ z e. X) -> E.c e. RR A.k e. NN (abs` ((F` k)` z)) <_ c)
32	31	r19.21aiva 1712	. 2 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> A.z e. X E.c e. RR A.k e. NN (abs` ((F` k)` z)) <_ c)
33	10, 28, 32	sylanc 471	1 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.d e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ d)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644  Vcvv 1808  <.cop 2408   class class class wbr 2615  {copab 2662   Fn wfn 3173  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   <_ cle 5278  NNcn 5279  abscabs 6696  Basecba 8169  normcnm 8173  .icip 8311   LnOp clno 8363  normOpcnmo 8364   BLnOp cblo 8365  CBancbn 8481  CHilchl 8548

This theorem is referenced by:  htthlem12 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-iso 3195  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-nei 7673  df-lp 7701  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-cau 7885  df-cmet 7886  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-lno 8367  df-nmo 8368  df-blo 8369  df-0o 8370  df-ph 8431  df-bn 8482  df-hl 8549

Copyright terms: Public domain