Theorem htthlem12 8495

Description: Lemma for htthi 8496. Linear operator T is bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem12	|- T e. B

Distinct variable groups:   v,u,x,y   f,N   u,m,v,w,x,y,P   f,m,u,v,w,x,y,T   u,U,v   f,X,m,u,v,w,x,y

Proof of Theorem htthlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.u	. . . 4 |- U e. CHil
2		hlnv 8461	. . . 4 |- (U e. CHil -> U e. NrmCVec)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- U e. NrmCVec
4		eqid 1452	. . . 4 |- (UnormOpU) = (UnormOpU)
5		htthlem3.l	. . . 4 |- L = (U LnOp U)
6		htthlem3.b	. . . 4 |- B = (U BLnOp U)
7	4, 5, 6	isblo2 8310	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpU)` T) e. RR)))
8	3, 3, 7	mp2an 694	. 2 |- (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpU)` T) e. RR))
9		htthlem3.t	. 2 |- T e. L
10		htthlem3.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
11	10, 10, 5	lnof 8285	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->X)
12	3, 3, 9, 11	mp3an 912	. . . 4 |- T:X-->X
13		htthlem3.p	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
14		htthlem3.a	. . . . . . . . 9 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
15		htthlem3.f	. . . . . . . . 9 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
16		htthlem3.c	. . . . . . . . 9 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
17		htthlem3.d	. . . . . . . . 9 |- D = (U BLnOp C)
18		htthlem3.n	. . . . . . . . 9 |- N = (norm` U)
19		htthlem3.o	. . . . . . . . 9 |- O = (UnormOpC)
20	10, 13, 5, 6, 1, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19	htthlem11 8494	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z)
21	10, 13, 5, 6, 1, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19	htthlem10 8493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ (z e. RR /\ (O` (F` k)) <_ z)) -> (N` (T` (f` k))) <_ z)
22	21	exp32 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (z e. RR -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z)))
23	22	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ z e. RR) -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z))
24	23	an1rs 488	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->X /\ z e. RR) /\ k e. NN) -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z))
25	24	r19.20dva 1685	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ z e. RR) -> (A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
26	25	r19.22dva 1715	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->X -> (E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
27	26	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> (E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
28	20, 27	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z)
29	10, 5, 1, 9	htthlem1 8484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)
30	10, 18	nvcl 8164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
31	3, 30	mpan 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T` (f` k)) e. X -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
32	29, 31	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
33	32	anim1i 334	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ (N` (T` (f` k))) <_ z) -> ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z))
34	33	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k))) <_ z -> ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
35	34	r19.20dva 1685	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->X -> (A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
36	35	r19.22sdv 1714	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->X -> (E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
37	36	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> (E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
38	28, 37	mpd 26	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z))
39		bndndx 5971	. . . . . 6 |- (E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
40	38, 39	syl 10	. . . . 5 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
41	40	ax-gen 955	. . . 4 |- A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
42	12, 41	pm3.2i 285	. . 3 |- (T:X-->X /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k))
43	10, 10, 18, 18, 4, 3, 3	nmobndseqi 8307	. . 3 |- ((T:X-->X /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)) -> ((UnormOpU)` T) e. RR)
44	42, 43	ax-mp 7	. 2 |- ((UnormOpU)` T) e. RR
45	8, 9, 44	mpbir2an 727	1 |- T e. B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  A.wral 1621  E.wrex 1622  <.cop 2382   class class class wbr 2587  {copab 2634  -->wf 3141  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  RRcr 5156  1c1 5158   + caddc 5160   x. cmul 5162   <_ cle 5218  NNcn 5219  abscabs 6632  NrmCVeccnv 8084  Basecba 8086  normcnm 8090  .icip 8218   LnOp clno 8270  normOpcnmo 8271   BLnOp cblo 8272  CHilchl 8455

This theorem is referenced by:  htthi 8496

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517  ax-inf2 4549  ax-ac 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-iin 2537  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-iso 3162  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-map 4262  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-r1 4567  df-rank 4568  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093