Theorem htthlem5 8624

Description: Lemma for htthi 8632. Each F` k is a bounded linear functional (i.e. a bounded linear operator from the vector space to CC).

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem5	|- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. D)

Distinct variable groups:   v,u,x,y   C,k   D,k   k,F   f,k,N   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   U,k,u,v   f,X,k,m,u,v,w,x,y

Proof of Theorem htthlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		htthlem3.p	. . . . 5 |- P = (.i` U)
3		htthlem3.l	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
4		htthlem3.b	. . . . 5 |- B = (U BLnOp U)
5		htthlem3.u	. . . . 5 |- U e. CHil
6		htthlem3.t	. . . . 5 |- T e. L
7		htthlem3.a	. . . . 5 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
8		htthlem3.f	. . . . 5 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
9		htthlem3.c	. . . . 5 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
10		htthlem3.d	. . . . 5 |- D = (U BLnOp C)
11		htthlem3.n	. . . . 5 |- N = (norm` U)
12		htthlem3.o	. . . . 5 |- O = (UnormOpC)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	htthlem3 8622	. . . 4 |- (k e. NN -> (F` k) = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` k)))})
14	13	adantl 388	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` k)))})
15	7	htthlem2 8621	. . . . . . . 8 |- ((v e. X /\ (f` k) e. X) -> ((T` v)P(f` k)) = (vP(T` (f` k))))
16	15	ancoms 436	. . . . . . 7 |- (((f` k) e. X /\ v e. X) -> ((T` v)P(f` k)) = (vP(T` (f` k))))
17		ffvelrn 3814	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
18	16, 17	sylan 448	. . . . . 6 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ v e. X) -> ((T` v)P(f` k)) = (vP(T` (f` k))))
19	18	eqeq2d 1486	. . . . 5 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ v e. X) -> (u = ((T` v)P(f` k)) <-> u = (vP(T` (f` k)))))
20	19	pm5.32da 649	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((v e. X /\ u = ((T` v)P(f` k))) <-> (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))))
21	20	opabbidv 2670	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` k)))} = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))})
22	14, 21	eqtrd 1507	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))})
23	1, 3, 5, 6	htthlem1 8620	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)
24		hlph 8593	. . . . 5 |- (U e. CHil -> U e. CPreHil)
25	5, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- U e. CPreHil
26		eqid 1475	. . . 4 |- {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))} = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))}
27	1, 2, 25, 9, 10, 26	ipblnfi 8516	. . 3 |- ((T` (f` k)) e. X -> {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))} e. D)
28	23, 27	syl 10	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> {<.v, u>. | (v e. X /\ u = (vP(T` (f` k))))} e. D)
29	22, 28	eqeltrd 1548	1 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   + caddc 5237   x. cmul 5239  NNcn 5296  abscabs 6750  Basecba 8205  normcnm 8209  .icip 8349   LnOp clno 8401  normOpcnmo 8402   BLnOp cblo 8403  CPreHilcphl 8471  CHilchl 8589

This theorem is referenced by:  htthlem10 8629  htthlem11 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-lno 8405  df-nmo 8406  df-blo 8407  df-0o 8408  df-ph 8472  df-bn 8523  df-hl 8590

Copyright terms: Public domain