Theorem htthlem8 8585

Description: Lemma for htthi 8590.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem8	|- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ (d x. (N` A)))

Distinct variable groups:   v,u,x,y,A   k,d,C   D,d,k   F,d,k   f,k,N   O,d   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   u,d,v,U,k   f,d,m,w,x,y,X,k,u,v

Proof of Theorem htthlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3809	. . . . . 6 |- (((F` k):X-->CC /\ A e. X) -> ((F` k)` A) e. CC)
2		htthlem3.u	. . . . . . . 8 |- U e. CHil
3	2	hlnvi 8555	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
4		htthlem3.c	. . . . . . . 8 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
5	4	cnnv 8271	. . . . . . 7 |- C e. NrmCVec
6		htthlem3.1	. . . . . . . 8 |- X = (Base` U)
7	4	cnnvba 8273	. . . . . . . 8 |- CC = (Base` C)
8		htthlem3.d	. . . . . . . 8 |- D = (U BLnOp C)
9	6, 7, 8	blof 8405	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec /\ (F` k) e. D) -> (F` k):X-->CC)
10	3, 5, 9	mp3an12 905	. . . . . 6 |- ((F` k) e. D -> (F` k):X-->CC)
11	1, 10	sylan 448	. . . . 5 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> ((F` k)` A) e. CC)
12		absclt 6783	. . . . 5 |- (((F` k)` A) e. CC -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
13	11, 12	syl 10	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
14	13	3adant2 797	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
15	14	adantr 389	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
16		axmulrcl 5257	. . . . 5 |- (((O` (F` k)) e. RR /\ (N` A) e. RR) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
17		htthlem3.o	. . . . . . 7 |- O = (UnormOpC)
18	6, 7, 17, 8	nmblore 8406	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec /\ (F` k) e. D) -> (O` (F` k)) e. RR)
19	3, 5, 18	mp3an12 905	. . . . 5 |- ((F` k) e. D -> (O` (F` k)) e. RR)
20		htthlem3.n	. . . . . . 7 |- N = (norm` U)
21	6, 20	nvcl 8251	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
22	3, 21	mpan 694	. . . . 5 |- (A e. X -> (N` A) e. RR)
23	16, 19, 22	syl2an 454	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
24	23	3adant2 797	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
25	24	adantr 389	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
26		axmulrcl 5257	. . . . 5 |- ((d e. RR /\ (N` A) e. RR) -> (d x. (N` A)) e. RR)
27	26, 22	sylan2 451	. . . 4 |- ((d e. RR /\ A e. X) -> (d x. (N` A)) e. RR)
28	27	3adant1 796	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (d x. (N` A)) e. RR)
29	28	adantr 389	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (d x. (N` A)) e. RR)
30	4	cnnvnm 8276	. . . . 5 |- abs = (norm` C)
31	6, 20, 30, 17, 8, 3, 5	nmblolbi 8419	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
32	31	3adant2 797	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
33	32	adantr 389	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
34		lemul1it 5803	. . 3 |- ((((O` (F` k)) e. RR /\ d e. RR /\ ((N` A) e. RR /\ 0 <_ (N` A))) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) <_ (d x. (N` A)))
35		id 59	. . 3 |- (d e. RR -> d e. RR)
36	6, 20	nvge0 8266	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))
37	3, 36	mpan 694	. . . 4 |- (A e. X -> 0 <_ (N` A))
38	22, 37	jca 288	. . 3 |- (A e. X -> ((N` A) e. RR /\ 0 <_ (N` A)))
39	34, 19, 35, 38	syl3anl 875	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) <_ (d x. (N` A)))
40	15, 25, 29, 33, 39	letrd 5509	1 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ (d x. (N` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408   class class class wbr 2615  {copab 2662  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217   + caddc 5220   x. cmul 5222   <_ cle 5278  NNcn 5279  abscabs 6696  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  normcnm 8173  .icip 8311   LnOp clno 8363  normOpcnmo 8364   BLnOp cblo 8365  CHilchl 8548

This theorem is referenced by:  htthlem10 8587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-lno 8367  df-nmo 8368  df-blo 8369  df-0o 8370  df-bn 8482  df-hl 8549

Copyright terms: Public domain