Theorem htthlem9 8628

Description: Lemma for htthi 8632.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem9	|- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))

Distinct variable groups:   v,u,x,y   C,k   D,k   k,F   f,k,N   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   U,k,u,v   f,X,k,m,u,v,w,x,y

Proof of Theorem htthlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		htthlem3.l	. . . 4 |- L = (U LnOp U)
3		htthlem3.u	. . . 4 |- U e. CHil
4		htthlem3.t	. . . 4 |- T e. L
5	1, 2, 3, 4	htthlem1 8620	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)
6		absidt 6862	. . . 4 |- ((((N` (T` (f` k)))^2) e. RR /\ 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2)) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
7	3	hlnvi 8596	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
8		htthlem3.n	. . . . . . 7 |- N = (norm` U)
9	1, 8	nvcl 8287	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
10	7, 9	mpan 695	. . . . 5 |- ((T` (f` k)) e. X -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
11		resqclt 6621	. . . . 5 |- ((N` (T` (f` k))) e. RR -> ((N` (T` (f` k)))^2) e. RR)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- ((T` (f` k)) e. X -> ((N` (T` (f` k)))^2) e. RR)
13		sqge0t 6633	. . . . 5 |- ((N` (T` (f` k))) e. RR -> 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2))
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- ((T` (f` k)) e. X -> 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2))
15	6, 12, 14	sylanc 471	. . 3 |- ((T` (f` k)) e. X -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
16	5, 15	syl 10	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
17		htthlem3.p	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
18		htthlem3.b	. . . . . . . 8 |- B = (U BLnOp U)
19		htthlem3.a	. . . . . . . 8 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
20		htthlem3.f	. . . . . . . 8 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
21		htthlem3.c	. . . . . . . 8 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
22		htthlem3.d	. . . . . . . 8 |- D = (U BLnOp C)
23		htthlem3.o	. . . . . . . 8 |- O = (UnormOpC)
24	1, 17, 2, 18, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 8, 23	htthlem4 8623	. . . . . . 7 |- (((T` (f` k)) e. X /\ k e. NN) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (T` (f` k)))P(f` k)))
25	24	adantrl 394	. . . . . 6 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (T` (f` k)))P(f` k)))
26	19	htthlem2 8621	. . . . . . 7 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f` k) e. X) -> ((T` (T` (f` k)))P(f` k)) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
27		ffvelrn 3814	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
28	26, 27	sylan2 451	. . . . . 6 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((T` (T` (f` k)))P(f` k)) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
29	25, 28	eqtrd 1507	. . . . 5 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
30	5, 29	mpancom 705	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
31	1, 8, 17	ipid 8363	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
32	7, 31	mpan 695	. . . . 5 |- ((T` (f` k)) e. X -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
33	5, 32	syl 10	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
34	30, 33	eqtr2d 1508	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = ((F` k)` (T` (f` k))))
35	34	fveq2d 3728	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))
36	16, 35	eqtr3d 1509	1 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NNcn 5296  2c2 5961  ^cexp 6568  abscabs 6750  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209  .icip 8349   LnOp clno 8401  normOpcnmo 8402   BLnOp cblo 8403  CHilchl 8589

This theorem is referenced by:  htthlem10 8629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ip 8350  df-lno 8405  df-bn 8523  df-hl 8590

Copyright terms: Public domain