Theorem hv2timest 8883

Description: Two times a vector.

Assertion

Ref	Expression
hv2timest	|- (A e. H~ -> (2 .h A) = (A +h A))

Proof of Theorem hv2timest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5252	. . . 4 |- 1 e. CC
2		ax-hvdistr2 8834	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. H~) -> ((1 + 1) .h A) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
3	1, 1, 2	mp3an12 905	. . 3 |- (A e. H~ -> ((1 + 1) .h A) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
4		df-2 5927	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
5	4	opreq1i 3966	. . 3 |- (2 .h A) = ((1 + 1) .h A)
6	3, 5	syl5eq 1517	. 2 |- (A e. H~ -> (2 .h A) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
7		ax-hvdistr1 8833	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ A e. H~ /\ A e. H~) -> (1 .h (A +h A)) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
8	1, 7	mp3an1 902	. . 3 |- ((A e. H~ /\ A e. H~) -> (1 .h (A +h A)) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
9	8	anidms 434	. 2 |- (A e. H~ -> (1 .h (A +h A)) = ((1 .h A) +h (1 .h A)))
10		hvaddclt 8837	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ A e. H~) -> (A +h A) e. H~)
11	10	anidms 434	. . 3 |- (A e. H~ -> (A +h A) e. H~)
12		ax-hvmulid 8831	. . 3 |- ((A +h A) e. H~ -> (1 .h (A +h A)) = (A +h A))
13	11, 12	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> (1 .h (A +h A)) = (A +h A))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 1511	1 |- (A e. H~ -> (2 .h A) = (A +h A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  (class class class)co 3958  CCcc 5215  1c1 5218   + caddc 5220  2c2 5918  H~chil 8743   +h cva 8744   .h csm 8745

This theorem is referenced by:  hvsubcan2 8886  mayete3 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hfvadd 8825  ax-hvmulid 8831  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-enr 5149  df-nr 5150  df-0r 5154  df-1r 5155  df-c 5223  df-1 5225  df-r 5227  df-2 5927

Copyright terms: Public domain