HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Unicode version

Theorem hvmul0 21597
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 8988 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
21oveq1d 5836 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( 0  .h 
0h ) )
3 ax-hv0cl 21577 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
4 ax-hvmul0 21584 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
53, 4ax-mp 10 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
62, 5syl6eq 2334 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  0h )
7 0cn 8828 . . . 4  |-  0  e.  CC
8 ax-hvmulass 21581 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
97, 3, 8mp3an23 1271 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
106, 9eqtr3d 2320 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0h  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
115oveq2i 5832 . 2  |-  ( A  .h  ( 0  .h 
0h ) )  =  ( A  .h  0h )
1210, 11syl6req 2335 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1625    e. wcel 1687  (class class class)co 5821   CCcc 8732   0cc0 8734    x. cmul 8739   ~Hchil 21493    .h csm 21495   0hc0v 21498
This theorem is referenced by:  hvmul0or  21598  hvsub0  21649  hsn0elch  21821  pjssmii  22254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-hv0cl 21577  ax-hvmulass 21581  ax-hvmul0 21584
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3831  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-ltxr 8869
  Copyright terms: Public domain W3C validator