HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Unicode version

Theorem hvmul0 21549
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 8945 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
21oveq1d 5793 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( 0  .h 
0h ) )
3 ax-hv0cl 21529 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
4 ax-hvmul0 21536 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
53, 4ax-mp 10 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
62, 5syl6eq 2304 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  0h )
7 0cn 8785 . . . 4  |-  0  e.  CC
8 ax-hvmulass 21533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
97, 3, 8mp3an23 1274 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
106, 9eqtr3d 2290 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0h  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
115oveq2i 5789 . 2  |-  ( A  .h  ( 0  .h 
0h ) )  =  ( A  .h  0h )
1210, 11syl6req 2305 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691    x. cmul 8696   ~Hchil 21445    .h csm 21447   0hc0v 21450
This theorem is referenced by:  hvmul0or  21550  hvsub0  21601  hsn0elch  21773  pjssmii  22224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-hv0cl 21529  ax-hvmulass 21533  ax-hvmul0 21536
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826
  Copyright terms: Public domain W3C validator