HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Structured version   Unicode version

Theorem hvmul0 22518
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 9237 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
21oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( 0  .h 
0h ) )
3 ax-hv0cl 22498 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
4 ax-hvmul0 22505 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
62, 5syl6eq 2483 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  0h )
7 0cn 9076 . . . 4  |-  0  e.  CC
8 ax-hvmulass 22502 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
97, 3, 8mp3an23 1271 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
106, 9eqtr3d 2469 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0h  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
115oveq2i 6084 . 2  |-  ( A  .h  ( 0  .h 
0h ) )  =  ( A  .h  0h )
1210, 11syl6req 2484 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    x. cmul 8987   ~Hchil 22414    .h csm 22416   0hc0v 22419
This theorem is referenced by:  hvmul0or  22519  hvsub0  22570  hsn0elch  22742  pjssmii  23175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-hv0cl 22498  ax-hvmulass 22502  ax-hvmul0 22505
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117
  Copyright terms: Public domain W3C validator