HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Unicode version

Theorem hvmul0 22375
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 9178 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
21oveq1d 6036 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( 0  .h 
0h ) )
3 ax-hv0cl 22355 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
4 ax-hvmul0 22362 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
62, 5syl6eq 2436 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  0h )
7 0cn 9018 . . . 4  |-  0  e.  CC
8 ax-hvmulass 22359 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
97, 3, 8mp3an23 1271 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  0 )  .h  0h )  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
106, 9eqtr3d 2422 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0h  =  ( A  .h  ( 0  .h  0h ) ) )
115oveq2i 6032 . 2  |-  ( A  .h  ( 0  .h 
0h ) )  =  ( A  .h  0h )
1210, 11syl6req 2437 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .h  0h )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924    x. cmul 8929   ~Hchil 22271    .h csm 22273   0hc0v 22276
This theorem is referenced by:  hvmul0or  22376  hvsub0  22427  hsn0elch  22599  pjssmii  23032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-hv0cl 22355  ax-hvmulass 22359  ax-hvmul0 22362
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059
  Copyright terms: Public domain W3C validator