Theorem hvmulcan2t 8935

Description: Cancellation law for scalar multiplication.

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2t	|- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> ((A .h C) = (B .h C) <-> A = B))

Proof of Theorem hvmulcan2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 1590	. . . . 5 |- (C =/= 0h <-> -. C = 0h)
2		biorf 737	. . . . . 6 |- (-. C = 0h -> ((A - B) = 0 <-> (C = 0h \/ (A - B) = 0)))
3		orcom 246	. . . . . 6 |- ((C = 0h \/ (A - B) = 0) <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h))
4	2, 3	syl6bb 538	. . . . 5 |- (-. C = 0h -> ((A - B) = 0 <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
5	1, 4	sylbi 199	. . . 4 |- (C =/= 0h -> ((A - B) = 0 <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
6	5	adantl 390	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> ((A - B) = 0 <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
7		hvmul0ort 8889	. . . . . 6 |- (((A - B) e. CC /\ C e. H~) -> (((A - B) .h C) = 0h <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
8		subclt 5379	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)
9	7, 8	sylan 450	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ C e. H~) -> (((A - B) .h C) = 0h <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
10	9	3impa 830	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> (((A - B) .h C) = 0h <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
11	10	adantr 391	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> (((A - B) .h C) = 0h <-> ((A - B) = 0 \/ C = 0h)))
12		hvsubdistr2t 8912	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((A - B) .h C) = ((A .h C) -h (B .h C)))
13	12	adantr 391	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> ((A - B) .h C) = ((A .h C) -h (B .h C)))
14	13	eqeq1d 1486	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> (((A - B) .h C) = 0h <-> ((A .h C) -h (B .h C)) = 0h))
15	6, 11, 14	3bitr2rd 549	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> (((A .h C) -h (B .h C)) = 0h <-> (A - B) = 0))
16		hvsubeq0t 8930	. . . 4 |- (((A .h C) e. H~ /\ (B .h C) e. H~) -> (((A .h C) -h (B .h C)) = 0h <-> (A .h C) = (B .h C)))
17		hvmulclt 8878	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ C e. H~) -> (A .h C) e. H~)
18	17	3adant2 800	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> (A .h C) e. H~)
19		hvmulclt 8878	. . . . 5 |- ((B e. CC /\ C e. H~) -> (B .h C) e. H~)
20	19	3adant1 799	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> (B .h C) e. H~)
21	16, 18, 20	sylanc 473	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> (((A .h C) -h (B .h C)) = 0h <-> (A .h C) = (B .h C)))
22	21	adantr 391	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> (((A .h C) -h (B .h C)) = 0h <-> (A .h C) = (B .h C)))
23		subeq0t 5415	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - B) = 0 <-> A = B))
24	23	3adant3 801	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((A - B) = 0 <-> A = B))
25	24	adantr 391	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> ((A - B) = 0 <-> A = B))
26	15, 22, 25	3bitr3d 550	1 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. H~) /\ C =/= 0h) -> ((A .h C) = (B .h C) <-> A = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   - cmin 5304  H~chil 8783   .h csm 8785  0hc0v 8786   -h cmv 8787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain