HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem hvsub4t 8861
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law.
Assertion
Ref Expression
hvsub4t |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h B) -h (C +h D)) = ((A -h C) +h (B -h D)))
Proof of Theorem hvsub4t
StepHypRef Expression
1 ax1cn 5252 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
21negcl 5352 . . . . . 6 |- -u1 e. CC
3 ax-hvdistr1 8833 . . . . . 6 |- ((-u1 e. CC /\ C e. H~ /\ D e. H~) -> (-u1 .h (C +h D)) = ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D)))
42, 3mp3an1 902 . . . . 5 |- ((C e. H~ /\ D e. H~) -> (-u1 .h (C +h D)) = ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D)))
54adantl 388 . . . 4 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (-u1 .h (C +h D)) = ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D)))
65opreq2d 3971 . . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h B) +h (-u1 .h (C +h D))) = ((A +h B) +h ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D))))
7 hvmulclt 8838 . . . . . . . 8 |- ((-u1 e. CC /\ C e. H~) -> (-u1 .h C) e. H~)
82, 7mpan 694 . . . . . . 7 |- (C e. H~ -> (-u1 .h C) e. H~)
98anim2i 335 . . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> (A e. H~ /\ (-u1 .h C) e. H~))
10 hvmulclt 8838 . . . . . . . 8 |- ((-u1 e. CC /\ D e. H~) -> (-u1 .h D) e. H~)
112, 10mpan 694 . . . . . . 7 |- (D e. H~ -> (-u1 .h D) e. H~)
1211anim2i 335 . . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ D e. H~) -> (B e. H~ /\ (-u1 .h D) e. H~))
139, 12anim12i 333 . . . . 5 |- (((A e. H~ /\ C e. H~) /\ (B e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A e. H~ /\ (-u1 .h C) e. H~) /\ (B e. H~ /\ (-u1 .h D) e. H~)))
1413an4s 508 . . . 4 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A e. H~ /\ (-u1 .h C) e. H~) /\ (B e. H~ /\ (-u1 .h D) e. H~)))
15 hvadd4t 8860 . . . 4 |- (((A e. H~ /\ (-u1 .h C) e. H~) /\ (B e. H~ /\ (-u1 .h D) e. H~)) -> ((A +h (-u1 .h C)) +h (B +h (-u1 .h D))) = ((A +h B) +h ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D))))
1614, 15syl 10 . . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h (-u1 .h C)) +h (B +h (-u1 .h D))) = ((A +h B) +h ((-u1 .h C) +h (-u1 .h D))))
176, 16eqtr4d 1508 . 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h B) +h (-u1 .h (C +h D))) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (B +h (-u1 .h D))))
18 hvsubvalt 8841 . . 3 |- (((A +h B) e. H~ /\ (C +h D) e. H~) -> ((A +h B) -h (C +h D)) = ((A +h B) +h (-u1 .h (C +h D))))
19 hvaddclt 8837 . . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A +h B) e. H~)
20 hvaddclt 8837 . . 3 |- ((C e. H~ /\ D e. H~) -> (C +h D) e. H~)
2118, 19, 20syl2an 454 . 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h B) -h (C +h D)) = ((A +h B) +h (-u1 .h (C +h D))))
22 hvsubvalt 8841 . . . 4 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> (A -h C) = (A +h (-u1 .h C)))
2322ad2ant2r 409 . . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (A -h C) = (A +h (-u1 .h C)))
24 hvsubvalt 8841 . . . 4 |- ((B e. H~ /\ D e. H~) -> (B -h D) = (B +h (-u1 .h D)))
2524ad2ant2l 408 . . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (B -h D) = (B +h (-u1 .h D)))
2623, 25opreq12d 3973 . 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A -h C) +h (B -h D)) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (B +h (-u1 .h D))))
2717, 21, 263eqtr4d 1515 1 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +h B) -h (C +h D)) = ((A -h C) +h (B -h D)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  (class class class)co 3958  CCcc 5215  1c1 5218  -ucneg 5276  H~chil 8743   +h cva 8744   .h csm 8745   -h cmv 8747
This theorem is referenced by:  hvaddsub4t 8900  chocuni 9127  osumlem2 9536  5oalem2 9557  3oalem2 9565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hfvmul 8830  ax-hvdistr1 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-hvsub 8795
Copyright terms: Public domain