Theorem hvsubcant 8880

Description: Cancellation law for vector addition.

Assertion

Ref	Expression
hvsubcant	|- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) = (A -h C) <-> B = C))

Proof of Theorem hvsubcant

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubvalt 8825	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
2	1	3adant3 798	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
3		hvsubvalt 8825	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> (A -h C) = (A +h (-u1 .h C)))
4	3	3adant2 797	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A -h C) = (A +h (-u1 .h C)))
5	2, 4	eqeq12d 1486	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) = (A -h C) <-> (A +h (-u1 .h B)) = (A +h (-u1 .h C))))
6		hvaddcant 8876	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ (-u1 .h B) e. H~ /\ (-u1 .h C) e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) = (A +h (-u1 .h C)) <-> (-u1 .h B) = (-u1 .h C)))
7		ax1cn 5249	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8	7	negcl 5349	. . . . 5 |- -u1 e. CC
9		hvmulclt 8822	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ C e. H~) -> (-u1 .h C) e. H~)
10	8, 9	mpan 694	. . . 4 |- (C e. H~ -> (-u1 .h C) e. H~)
11	6, 10	syl3an3 860	. . 3 |- ((A e. H~ /\ (-u1 .h B) e. H~ /\ C e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) = (A +h (-u1 .h C)) <-> (-u1 .h B) = (-u1 .h C)))
12		hvmulclt 8822	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~) -> (-u1 .h B) e. H~)
13	8, 12	mpan 694	. . 3 |- (B e. H~ -> (-u1 .h B) e. H~)
14	11, 13	syl3an2 859	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) = (A +h (-u1 .h C)) <-> (-u1 .h B) = (-u1 .h C)))
15		ax1ne0 5260	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
16	7, 15	negn0 5772	. . . . 5 |- -u1 =/= 0
17		hvmulcant 8878	. . . . 5 |- (((-u1 e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ -u1 =/= 0) -> ((-u1 .h B) = (-u1 .h C) <-> B = C))
18	16, 17	mpan2 695	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) = (-u1 .h C) <-> B = C))
19	8, 18	mp3an1 901	. . 3 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) = (-u1 .h C) <-> B = C))
20	19	3adant1 796	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) = (-u1 .h C) <-> B = C))
21	5, 14, 20	3bitrd 543	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) = (A -h C) <-> B = C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215  -ucneg 5273  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731

This theorem is referenced by:  hvsubcan2t 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain