HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Unicode version

Theorem hvsubcl 21522
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 21521 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
2 neg1cn 9746 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3 hvmulcl 21518 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
42, 3mpan 654 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
5 hvaddcl 21517 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
64, 5sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
71, 6eqeltrd 2330 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621  (class class class)co 5757   CCcc 8668   1c1 8671   -ucneg 8971   ~Hchil 21424    +h cva 21425    .h csm 21426    -h cmv 21430
This theorem is referenced by:  hvsubcli  21526  hvmulcan  21576  hvsubcan2  21579  hvaddsub4  21582  his2sub2  21597  hi2eq  21609  hial2eq  21610  hhph  21682  pjhthlem1  21895  pjhthlem2  21896  hodcl  22104  chscllem2  22160  5oalem2  22177  5oalem3  22178  5oalem5  22180  3oalem2  22185  hosubcli  22274  unopf1o  22421  lnopeq0i  22512  lnconi  22538  riesz3i  22567  riesz4i  22568  hmopidmpji  22657  pjclem4  22704  pj3si  22712  cdj1i  22938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-hfvadd 21505  ax-hfvmul 21510
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805  df-sub 8972  df-neg 8973  df-hvsub 21476
  Copyright terms: Public domain W3C validator