HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Unicode version

Theorem hvsubcl 21543
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 21542 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
2 neg1cn 9767 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3 hvmulcl 21539 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
42, 3mpan 654 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
5 hvaddcl 21538 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
64, 5sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
71, 6eqeltrd 2330 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621  (class class class)co 5778   CCcc 8689   1c1 8692   -ucneg 8992   ~Hchil 21445    +h cva 21446    .h csm 21447    -h cmv 21451
This theorem is referenced by:  hvsubcli  21547  hvmulcan  21597  hvsubcan2  21600  hvaddsub4  21603  his2sub2  21618  hi2eq  21630  hial2eq  21631  hhph  21703  pjhthlem1  21916  pjhthlem2  21917  hodcl  22125  chscllem2  22181  5oalem2  22198  5oalem3  22199  5oalem5  22201  3oalem2  22206  hosubcli  22295  unopf1o  22442  lnopeq0i  22533  lnconi  22559  riesz3i  22588  riesz4i  22589  hmopidmpji  22678  pjclem4  22725  pj3si  22733  cdj1i  22959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-hfvadd 21526  ax-hfvmul 21531
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-sub 8993  df-neg 8994  df-hvsub 21497
  Copyright terms: Public domain W3C validator