HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Unicode version

Theorem hvsubcl 21597
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 21596 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
2 neg1cn 9813 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3 hvmulcl 21593 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
42, 3mpan 651 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
5 hvaddcl 21592 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
64, 5sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
71, 6eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   -ucneg 9038   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    -h cmv 21505
This theorem is referenced by:  hvsubcli  21601  hvmulcan  21651  hvsubcan2  21654  hvaddsub4  21657  his2sub2  21672  hi2eq  21684  hial2eq  21685  hhph  21757  pjhthlem1  21970  pjhthlem2  21971  chscllem2  22217  5oalem2  22234  5oalem3  22235  5oalem5  22237  3oalem2  22242  hodcl  22327  hosubcli  22349  unopf1o  22496  lnopeq0i  22587  lnconi  22613  riesz3i  22642  riesz4i  22643  hmopidmpji  22732  pjclem4  22779  pj3si  22787  cdj1i  23013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551
  Copyright terms: Public domain W3C validator