HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Unicode version

Theorem hvsubid 21530
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 21511 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )
21oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
3 ax-1cn 8728 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 neg1cn 9746 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
5 ax-hvdistr2 21514 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A )  =  ( ( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) ) )
63, 4, 5mp3an12 1272 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  +  -u
1 )  .h  A
)  =  ( ( 1  .h  A )  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
7 hvsubval 21521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  -h  A
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
87anidms 629 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
92, 6, 83eqtr4rd 2299 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A ) )
103negidi 9048 . . . 4  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1110oveq1i 5767 . . 3  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  .h  A )  =  ( 0  .h  A )
129, 11syl6eq 2304 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( 0  .h  A
) )
13 ax-hvmul0 21515 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
1412, 13eqtrd 2288 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673   -ucneg 8971   ~Hchil 21424    +h cva 21425    .h csm 21426   0hc0v 21429    -h cmv 21430
This theorem is referenced by:  hvnegid  21531  hvsubeq0i  21567  hvaddsub4  21582  norm3difi  21651  5oalem1  22176  5oalem2  22177  5oalem3  22178  5oalem5  22180  3oalem2  22185  pjsslem  22201  ho0val  22255  lnop0  22471  0cnop  22484  pjclem4  22704  pj3si  22712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-hvmulid 21511  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805  df-sub 8972  df-neg 8973  df-hvsub 21476
  Copyright terms: Public domain W3C validator