Theorem hvsubsub4 8910

Description: Hilbert vector space addition law.

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	|- A e. H~
hvass.2	|- B e. H~
hvass.3	|- C e. H~
hvadd4.4	|- D e. H~

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	|- ((A -h B) -h (C -h D)) = ((A -h C) -h (B -h D))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 |- A e. H~
2		ax1cn 5256	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
3	2	negcl 5356	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
4		hvass.2	. . . . . 6 |- B e. H~
5	3, 4	hvmulcl 8868	. . . . 5 |- (-u1 .h B) e. H~
6		hvass.3	. . . . . 6 |- C e. H~
7	3, 6	hvmulcl 8868	. . . . 5 |- (-u1 .h C) e. H~
8		hvadd4.4	. . . . . . 7 |- D e. H~
9	3, 8	hvmulcl 8868	. . . . . 6 |- (-u1 .h D) e. H~
10	3, 9	hvmulcl 8868	. . . . 5 |- (-u1 .h (-u1 .h D)) e. H~
11	1, 5, 7, 10	hvadd4 8909	. . . 4 |- ((A +h (-u1 .h B)) +h ((-u1 .h C) +h (-u1 .h (-u1 .h D)))) = ((A +h (-u1 .h C)) +h ((-u1 .h B) +h (-u1 .h (-u1 .h D))))
12	3, 6, 9	hvdistr1 8902	. . . . 5 |- (-u1 .h (C +h (-u1 .h D))) = ((-u1 .h C) +h (-u1 .h (-u1 .h D)))
13	12	opreq2i 3969	. . . 4 |- ((A +h (-u1 .h B)) +h (-u1 .h (C +h (-u1 .h D)))) = ((A +h (-u1 .h B)) +h ((-u1 .h C) +h (-u1 .h (-u1 .h D))))
14	3, 4, 9	hvdistr1 8902	. . . . 5 |- (-u1 .h (B +h (-u1 .h D))) = ((-u1 .h B) +h (-u1 .h (-u1 .h D)))
15	14	opreq2i 3969	. . . 4 |- ((A +h (-u1 .h C)) +h (-u1 .h (B +h (-u1 .h D)))) = ((A +h (-u1 .h C)) +h ((-u1 .h B) +h (-u1 .h (-u1 .h D))))
16	11, 13, 15	3eqtr4 1504	. . 3 |- ((A +h (-u1 .h B)) +h (-u1 .h (C +h (-u1 .h D)))) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (-u1 .h (B +h (-u1 .h D))))
17	1, 5	hvaddcl 8872	. . . 4 |- (A +h (-u1 .h B)) e. H~
18	6, 9	hvaddcl 8872	. . . 4 |- (C +h (-u1 .h D)) e. H~
19	17, 18	hvsubval 8874	. . 3 |- ((A +h (-u1 .h B)) -h (C +h (-u1 .h D))) = ((A +h (-u1 .h B)) +h (-u1 .h (C +h (-u1 .h D))))
20	1, 7	hvaddcl 8872	. . . 4 |- (A +h (-u1 .h C)) e. H~
21	4, 9	hvaddcl 8872	. . . 4 |- (B +h (-u1 .h D)) e. H~
22	20, 21	hvsubval 8874	. . 3 |- ((A +h (-u1 .h C)) -h (B +h (-u1 .h D))) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (-u1 .h (B +h (-u1 .h D))))
23	16, 19, 22	3eqtr4 1504	. 2 |- ((A +h (-u1 .h B)) -h (C +h (-u1 .h D))) = ((A +h (-u1 .h C)) -h (B +h (-u1 .h D)))
24	1, 4	hvsubval 8874	. . 3 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
25	6, 8	hvsubval 8874	. . 3 |- (C -h D) = (C +h (-u1 .h D))
26	24, 25	opreq12i 3970	. 2 |- ((A -h B) -h (C -h D)) = ((A +h (-u1 .h B)) -h (C +h (-u1 .h D)))
27	1, 6	hvsubval 8874	. . 3 |- (A -h C) = (A +h (-u1 .h C))
28	4, 8	hvsubval 8874	. . 3 |- (B -h D) = (B +h (-u1 .h D))
29	27, 28	opreq12i 3970	. 2 |- ((A -h C) -h (B -h D)) = ((A +h (-u1 .h C)) -h (B +h (-u1 .h D)))
30	23, 26, 29	3eqtr4 1504	1 |- ((A -h B) -h (C -h D)) = ((A -h C) -h (B -h D))

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  (class class class)co 3960  1c1 5222  -ucneg 5280  H~chil 8772   +h cva 8773   .h csm 8774   -h cmv 8776

This theorem is referenced by:  hvsubsub4t 8911  pjsslem 9615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hfvmul 8859  ax-hvdistr1 8862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-sub 5343  df-neg 5345  df-hvsub 8824

Copyright terms: Public domain