Theorem hvsubvalt 8825

Description: Value of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Proof of Theorem hvsubvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3974	. 2 |- (A +h (-u1 .h B)) e. V
2		opreq1 3959	. 2 |- (x = A -> (x +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h y)))
3		opreq2 3960	. . 3 |- (y = B -> (-u1 .h y) = (-u1 .h B))
4	3	opreq2d 3967	. 2 |- (y = B -> (A +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h B)))
5		df-hvsub 8779	. 2 |- -h = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))}
6	1, 2, 4, 5	oprabval2 4019	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  (class class class)co 3954  1c1 5215  -ucneg 5273  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731

This theorem is referenced by:  hvsubclt 8826  hvsubval 8829  hvsubidt 8834  hvnegidt 8835  hv2negt 8836  hvaddsubvalt 8841  hvsub4t 8845  hvaddsub12t 8846  hvpncant 8847  hvaddsubasst 8849  hvsubdistr1t 8855  hvsubdistr2t 8856  hvsubcant 8880  hvsub0t 8882  his2subt 8897  hhph 8984  shsubclt 9028  shsubcltOLD 9029  shsel3t 9217  honegsub 9662  lnopsub 9837  lnfnsub 9913  superpos 10218  cdj1 10294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain