MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabs Unicode version

Theorem iblabs 19588
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblabs  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabs
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19527 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 iblabs.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
7 absf 12069 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
98feqmptd 5719 . . . 4  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
10 fveq2 5669 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  B
) )
115, 6, 9, 10fmptco 5841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )
12 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
135, 12fmptd 5833 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
14 ax-resscn 8981 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
15 ssid 3311 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
16 cncfss 18801 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
18 abscncf 18803 . . . . . 6  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
1917, 18sselii 3289 . . . . 5  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
21 cncombf 19418 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
223, 13, 20, 21syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
2311, 22eqeltrrd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
245abscld 12166 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2524rexrd 9068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
265absge0d 12174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
27 elxrge0 10941 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
2825, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29 0xr 9065 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
30 0le0 10014 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
31 elxrge0 10941 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3229, 30, 31mpbir2an 887 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3428, 33ifclda 3710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3534adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
36 eqid 2388 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
3735, 36fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
38 reex 9015 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
405recld 11927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
4140recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4241abscld 12166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
4341absge0d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
44 elrege0 10940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Re `  B )
) ) )
4542, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
46 0re 9025 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
47 elrege0 10940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
4846, 30, 47mpbir2an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5045, 49ifclda 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5150adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
525imcld 11928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
5352recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
5453abscld 12166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
5553absge0d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
56 elrege0 10940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Im `  B )
) ) )
5754, 55, 56sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5857, 49ifclda 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5958adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
60 eqidd 2389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
61 eqidd 2389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
6239, 51, 59, 60, 61offval2 6262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
63 iftrue 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
64 iftrue 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
6563, 64oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
66 iftrue 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
6765, 66eqtr4d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
68 00id 9174 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
69 iffalse 3690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
70 iffalse 3690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
7169, 70oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
72 iffalse 3690 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
7368, 71, 723eqtr4a 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
7467, 73pm2.61i 158 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
7574mpteq2i 4234 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
7662, 75syl6req 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
7776fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
78 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
795iblcn 19558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
801, 79mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
8180simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
824, 1, 78, 81, 40iblabslem 19587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
8382simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
8451, 78fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
8582simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
86 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
8780simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
884, 1, 86, 87, 52iblabslem 19587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
8988simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
9059, 86fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9188simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9283, 84, 85, 89, 90, 91itg2add 19519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
9377, 92eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
9485, 91readdcld 9049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
9593, 94eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9642, 54readdcld 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
9796rexrd 9068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e. 
RR* )
9842, 54, 43, 55addge0d 9535 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
99 elxrge0 10941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
10097, 98, 99sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
101100, 33ifclda 3710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
102101adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
103 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
104102, 103fmptd 5833 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
105 ax-icn 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
106 mulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
107105, 53, 106sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
10841, 107abstrid 12186 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
1095replimd 11930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
110109fveq2d 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
111 absmul 12027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
112105, 53, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
113 absi 12019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  _i )  =  1
114113oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
11554recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
116115mulid2d 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
117114, 116syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
118112, 117eqtr2d 2421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
119118oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
120108, 110, 1193brtr4d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
121 iftrue 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
122121adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
12366adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
124120, 122, 1233brtr4d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
125124ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
12630a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
127 iffalse 3690 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
128126, 127, 723brtr4d 4184 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
129125, 128pm2.61d1 153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
130129ralrimivw 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
131 eqidd 2389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
132 eqidd 2389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
13339, 35, 102, 131, 132ofrfval2 6263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
134130, 133mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )
135 itg2le 19499 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
13637, 104, 134, 135syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )
137 itg2lecl 19498 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
13837, 95, 136, 137syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
13924, 26iblpos 19552 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
14023, 138, 139mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243    o Rcofr 6244   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    <_ cle 9055   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   Recre 11830   Imcim 11831   abscabs 11967   -cn->ccncf 18778  MblFncmbf 19374   S.2citg2 19376   L ^1cibl 19377
This theorem is referenced by:  iblmulc2  19590  itgabs  19594  bddmulibl  19598  itgcn  19602  ftc1a  19789  ftc1lem4  19791  itgulm  20192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-0p 19430
  Copyright terms: Public domain W3C validator