MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss2 Structured version   Unicode version

Theorem iblss2 19689
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
iblss2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
iblss2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
iblss2.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 iblss2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 iblss2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
4 iblss2.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
5 iblss2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19651 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
81, 2, 3, 4, 7mbfss 19530 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
91adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  B )
109sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
11 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
13 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1512, 14eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
16 ifid 3763 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B , 
0 ,  0 )  =  0
17 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
19 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
2018, 19eldifd 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
2117, 20, 4syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  0 )
2221oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
23 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ( 0 ... 3
) )
24 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
25 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
26 ine0 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
27 expclz 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
28 expne0i 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2927, 28div0d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3025, 26, 29mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3123, 24, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3222, 31eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
3332fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
34 re0 11949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3533, 34syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
3635ifeq1d 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
37 ifid 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
3836, 37syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
3938ifeq1da 3756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  0 ,  0 ) )
40 iffalse 3738 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4140adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4216, 39, 413eqtr4a 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
4315, 42pm2.61dan 767 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
44 ifan 3770 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
45 ifan 3770 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4643, 44, 453eqtr4g 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4746mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4847fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
49 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
50 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5149, 50, 5, 3iblitg 19652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5224, 51sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5348, 52eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5453ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
55 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
56 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
57 elun 3480 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
58 undif2 3696 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
59 ssequn1 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
601, 59sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
6158, 60syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
6261eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
6357, 62syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
6463biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
657, 3mbfmptcl 19521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
66 0cn 9076 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
674, 66syl6eqel 2523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
6865, 67jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
6964, 68syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
7055, 56, 69isibl2 19650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
718, 54, 70mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   _ici 8984    <_ cle 9113    / cdiv 9669   3c3 10042   ZZcz 10274   ...cfz 11035   ^cexp 11374   Recre 11894   volcvol 19352  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501
This theorem is referenced by:  itgss3  19698  itgless  19700  ftc1anclem5  26274  ftc1anclem6  26275  areacirc  26288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-ibl 19507
  Copyright terms: Public domain W3C validator