MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Unicode version

Theorem icco1 12254
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
icco1.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
icco1.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
icco1.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
icco1.5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
icco1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
Assertion
Ref Expression
icco1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 icco1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 icco1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 icco1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5 icco1.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
6 icco1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7 elicc2 10900 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
86, 4, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) )
1110simp3d 971 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  N )
121, 2, 3, 4, 11ello1d 12237 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
132renegcld 9389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
146renegcld 9389 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  RR )
1510simp2d 970 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  <_  B )
166adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
172adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
1816, 17lenegd 9530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( M  <_  B  <->  -u B  <_  -u M ) )
1915, 18mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  -u B  <_  -u M )
201, 13, 3, 14, 19ello1d 12237 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )
212o1lo1 12251 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
2212, 20, 21mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200  (class class class)co 6013   RRcr 8915    <_ cle 9047   -ucneg 9217   [,]cicc 10844   O ( 1 )co1 12200   <_ O ( 1 )clo1 12201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ico 10847  df-icc 10848  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-o1 12204  df-lo1 12205
  Copyright terms: Public domain W3C validator