MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Unicode version

Theorem icco1 12016
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
icco1.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
icco1.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
icco1.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
icco1.5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
icco1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
Assertion
Ref Expression
icco1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 icco1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 icco1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 icco1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5 icco1.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
6 icco1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7 elicc2 10717 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
86, 4, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) )
1110simp3d 969 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  N )
121, 2, 3, 4, 11ello1d 11999 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
132renegcld 9212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
146renegcld 9212 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  RR )
1510simp2d 968 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  <_  B )
166adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
172adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
1816, 17lenegd 9353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( M  <_  B  <->  -u B  <_  -u M ) )
1915, 18mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  -u B  <_  -u M )
201, 13, 3, 14, 19ello1d 11999 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )
212o1lo1 12013 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
2212, 20, 21mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1686    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079  (class class class)co 5860   RRcr 8738    <_ cle 8870   -ucneg 9040   [,]cicc 10661   O ( 1 )co1 11962   <_ O ( 1 )clo1 11963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-icc 10665  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966  df-lo1 11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator