Theorem idcn 7745

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpimaex.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
idcn	|- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Cn J))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 3415	. . . . . . 7 |- ran ( I |` X) = X
2	1	eqimssi 2109	. . . . . 6 |- ran ( I |` X) (_ X
3	2	a1i 8	. . . . 5 |- (J e. Top -> ran ( I |` X) (_ X)
4		fnresi 3600	. . . . 5 |- (I |` X) Fn X
5	3, 4	jctil 292	. . . 4 |- (J e. Top -> ((I |` X) Fn X /\ ran ( I |` X) (_ X))
6		df-f 3191	. . . 4 |- ((I |` X):X-->X <-> ((I |` X) Fn X /\ ran ( I |` X) (_ X))
7	5, 6	sylibr 200	. . 3 |- (J e. Top -> (I |` X):X-->X)
8		funi 3542	. . . . . . . . . . 11 |- Fun I
9	8	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> Fun I)
10		cnvi 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- `'I = I
11	10	eqcomi 1478	. . . . . . . . . . 11 |- I = `'I
12		funeq 3532	. . . . . . . . . . 11 |- (I = `'I -> (Fun I <-> Fun `'I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (Fun I <-> Fun `'I)
14	9, 13	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> Fun `'I)
15		funcnvres 3565	. . . . . . . . . 10 |- (Fun `'I -> `'(I |` X) = (`'I |` (I"X)))
16		imai 3414	. . . . . . . . . . . 12 |- (I"X) = X
17	16	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun `'I -> (I"X) = X)
18		reseq2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ((I"X) = X -> (`'I |` (I"X)) = (`'I |` X))
19	17, 18	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (Fun `'I -> (`'I |` (I"X)) = (`'I |` X))
20	15, 19	eqtrd 1506	. . . . . . . . 9 |- (Fun `'I -> `'(I |` X) = (`'I |` X))
21	14, 20	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> `'(I |` X) = (`'I |` X))
22		reseq1 3365	. . . . . . . . 9 |- (`'I = I -> (`'I |` X) = (I |` X))
23	10, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (`'I |` X) = (I |` X)
24	21, 23	syl6eq 1522	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> `'(I |` X) = (I |` X))
25	24	imaeq1d 3400	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) = ((I |` X)"y))
26		cnpimaex.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
27	26	eltopss 7582	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> y (_ X)
28		resiima 3416	. . . . . . 7 |- (y (_ X -> ((I |` X)"y) = y)
29	27, 28	syl 10	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> ((I |` X)"y) = y)
30	25, 29	eqtrd 1506	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) = y)
31		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> y e. J)
32	30, 31	eqeltrd 1547	. . . 4 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) e. J)
33	32	r19.21aiva 1713	. . 3 |- (J e. Top -> A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)
34	7, 33	jca 288	. 2 |- (J e. Top -> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J))
35	26, 26	iscn 7737	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> ((I |` X) e. (J Cn J) <-> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)))
36	35	anidms 434	. 2 |- (J e. Top -> ((I |` X) e. (J Cn J) <-> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)))
37	34, 36	mpbird 196	1 |- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Cn J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644   (_ wss 2045  U.cuni 2500  Icid 2828  `'ccnv 3166  ran crn 3168   |` cres 3169  "cima 3170  Fun wfun 3173   Fn wfn 3174  -->wf 3175  (class class class)co 3960  Topctop 7567   Cn ccn 7731

This theorem is referenced by:  metidcn 7883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-cn 7733

Copyright terms: Public domain