MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Unicode version

Theorem idnghm 18769
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
idnghm  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( S
normOp S )  =  ( S normOp S )
2 idnghm.2 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
41, 2, 3nmoid 18768 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  1 )
5 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
64, 5syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
7 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  S ) }  <->  x  e.  V ) )
87biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  { ( 0g `  S
) } )
9 elsni 3830 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  S ) }  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
1110mpteq2dva 4287 . . . . . . 7  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e.  V  |->  x )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g `  S
) ) )
12 mptresid 5187 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  |->  x )  =  (  _I  |`  V )
1312eqcomi 2439 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  V )  =  ( x  e.  V  |->  x )
14 fconstmpt 4913 . . . . . . 7  |-  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g
`  S ) )
1511, 13, 143eqtr4g 2492 . . . . . 6  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  (  _I  |`  V )  =  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
1615fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) ) )
171, 2, 3nmo0 18761 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp
)  ->  ( ( S normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )  =  0 )
1817anidms 627 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) )  =  0 )
1916, 18sylan9eqr 2489 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  0 )
20 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
2119, 20syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
22 ngpgrp 18638 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
232, 3grpidcl 14825 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  S )  e.  V
)
2524snssd 3935 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  { ( 0g
`  S ) } 
C_  V )
26 sspss 3438 . . . 4  |-  ( { ( 0g `  S
) }  C_  V  <->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S ) }  =  V ) )
2725, 26sylib 189 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S
) }  =  V ) )
286, 21, 27mpjaodan 762 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
29 id 20 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e. NrmGrp )
302idghm 15013 . . . 4  |-  ( S  e.  Grp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
3122, 30syl 16 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
321isnghm2 18750 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp  /\  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )  ->  (
(  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
)  <->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3329, 31, 32mpd3an23 1281 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S )  <->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3428, 33mpbird 224 1  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312    C. wpss 3313   {csn 3806    e. cmpt 4258    _I cid 4485    X. cxp 4868    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677    GrpHom cghm 14995  NrmGrpcngp 18617   normOpcnmo 18731   NGHom cnghm 18732
This theorem is referenced by:  idnmhm  18780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nmo 18734  df-nghm 18735
  Copyright terms: Public domain W3C validator