MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Unicode version

Theorem idnghm 18304
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
idnghm  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( S
normOp S )  =  ( S normOp S )
2 idnghm.2 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
41, 2, 3nmoid 18303 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  1 )
5 1re 8882 . . . 4  |-  1  e.  RR
64, 5syl6eqel 2404 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
7 eleq2 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  S ) }  <->  x  e.  V ) )
87biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  { ( 0g `  S
) } )
9 elsni 3698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  S ) }  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
1110mpteq2dva 4143 . . . . . . 7  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e.  V  |->  x )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g `  S
) ) )
12 mptresid 5041 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  |->  x )  =  (  _I  |`  V )
1312eqcomi 2320 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  V )  =  ( x  e.  V  |->  x )
14 fconstmpt 4769 . . . . . . 7  |-  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g
`  S ) )
1511, 13, 143eqtr4g 2373 . . . . . 6  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  (  _I  |`  V )  =  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
1615fveq2d 5567 . . . . 5  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) ) )
171, 2, 3nmo0 18296 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp
)  ->  ( ( S normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )  =  0 )
1817anidms 626 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) )  =  0 )
1916, 18sylan9eqr 2370 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  0 )
20 0re 8883 . . . 4  |-  0  e.  RR
2119, 20syl6eqel 2404 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
22 ngpgrp 18173 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
232, 3grpidcl 14559 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  S )  e.  V
)
2524snssd 3797 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  { ( 0g
`  S ) } 
C_  V )
26 sspss 3309 . . . 4  |-  ( { ( 0g `  S
) }  C_  V  <->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S ) }  =  V ) )
2725, 26sylib 188 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S
) }  =  V ) )
286, 21, 27mpjaodan 761 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
29 id 19 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e. NrmGrp )
302idghm 14747 . . . 4  |-  ( S  e.  Grp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
3122, 30syl 15 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
321isnghm2 18285 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp  /\  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )  ->  (
(  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
)  <->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3329, 31, 32mpd3an23 1279 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S )  <->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3428, 33mpbird 223 1  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186    C. wpss 3187   {csn 3674    e. cmpt 4114    _I cid 4341    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783   Basecbs 13195   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411    GrpHom cghm 14729  NrmGrpcngp 18152   normOpcnmo 18266   NGHom cnghm 18267
This theorem is referenced by:  idnmhm  18315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-topgen 13393  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-ghm 14730  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-xms 17937  df-ms 17938  df-nm 18157  df-ngp 18158  df-nmo 18269  df-nghm 18270
  Copyright terms: Public domain W3C validator