Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrootle Structured version   Unicode version

Theorem idomrootle 27488
 Description: No element of an integral domain can have more than -th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b
idomrootle.e .gmulGrp
Assertion
Ref Expression
idomrootle IDomn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3 Poly1 Poly1
2 eqid 2436 . . 3 Poly1 Poly1
3 eqid 2436 . . 3 deg1 deg1
4 eqid 2436 . . 3 eval1 eval1
5 eqid 2436 . . 3
6 eqid 2436 . . 3 Poly1 Poly1
7 simp1 957 . . 3 IDomn IDomn
8 isidom 16364 . . . . . . . . 9 IDomn Domn
98simplbi 447 . . . . . . . 8 IDomn
107, 9syl 16 . . . . . . 7 IDomn
11 crngrng 15674 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6 IDomn
131ply1rng 16642 . . . . . 6 Poly1
1412, 13syl 16 . . . . 5 IDomn Poly1
15 rnggrp 15669 . . . . 5 Poly1 Poly1
1614, 15syl 16 . . . 4 IDomn Poly1
17 eqid 2436 . . . . . . 7 mulGrpPoly1 mulGrpPoly1
1817rngmgp 15670 . . . . . 6 Poly1 mulGrpPoly1
1914, 18syl 16 . . . . 5 IDomn mulGrpPoly1
20 simp3 959 . . . . 5 IDomn
21 eqid 2436 . . . . . . 7 var1 var1
2221, 1, 2vr1cl 16611 . . . . . 6 var1 Poly1
2312, 22syl 16 . . . . 5 IDomn var1 Poly1
2417, 2mgpbas 15654 . . . . . 6 Poly1 mulGrpPoly1
25 eqid 2436 . . . . . 6 .gmulGrpPoly1 .gmulGrpPoly1
2624, 25mulgnncl 14905 . . . . 5 mulGrpPoly1 var1 Poly1 .gmulGrpPoly1var1 Poly1
2719, 20, 23, 26syl3anc 1184 . . . 4 IDomn .gmulGrpPoly1var1 Poly1
28 eqid 2436 . . . . . . 7 algScPoly1 algScPoly1
29 idomrootle.b . . . . . . 7
301, 28, 29, 2ply1sclf 16677 . . . . . 6 algScPoly1Poly1
3112, 30syl 16 . . . . 5 IDomn algScPoly1Poly1
32 simp2 958 . . . . 5 IDomn
3331, 32ffvelrnd 5871 . . . 4 IDomn algScPoly1 Poly1
34 eqid 2436 . . . . 5 Poly1 Poly1
352, 34grpsubcl 14869 . . . 4 Poly1 .gmulGrpPoly1var1 Poly1 algScPoly1 Poly1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1
3616, 27, 33, 35syl3anc 1184 . . 3 IDomn .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1
373, 1, 2deg1xrcl 20005 . . . . . . . . . 10 algScPoly1 Poly1 deg1 algScPoly1
3833, 37syl 16 . . . . . . . . 9 IDomn deg1 algScPoly1
39 0xr 9131 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 IDomn
41 nnre 10007 . . . . . . . . . . 11
4241rexrd 9134 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant3 980 . . . . . . . . 9 IDomn
443, 1, 29, 28deg1sclle 20035 . . . . . . . . . 10 deg1 algScPoly1
4512, 32, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9 IDomn deg1 algScPoly1
46 nngt0 10029 . . . . . . . . . 10
47463ad2ant3 980 . . . . . . . . 9 IDomn
4838, 40, 43, 45, 47xrlelttrd 10750 . . . . . . . 8 IDomn deg1 algScPoly1
498simprbi 451 . . . . . . . . . . 11 IDomn Domn
50 domnnzr 16355 . . . . . . . . . . 11 Domn NzRing
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10 IDomn NzRing
527, 51syl 16 . . . . . . . . 9 IDomn NzRing
53 nnnn0 10228 . . . . . . . . . 10
54533ad2ant3 980 . . . . . . . . 9 IDomn
553, 1, 21, 17, 25deg1pw 20043 . . . . . . . . 9 NzRing deg1 .gmulGrpPoly1var1
5652, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8 IDomn deg1 .gmulGrpPoly1var1
5748, 56breqtrrd 4238 . . . . . . 7 IDomn deg1 algScPoly1 deg1 .gmulGrpPoly1var1
581, 3, 12, 2, 34, 27, 33, 57deg1sub 20031 . . . . . 6 IDomn deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 deg1 .gmulGrpPoly1var1
5958, 56eqtrd 2468 . . . . 5 IDomn deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
6059, 54eqeltrd 2510 . . . 4 IDomn deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
613, 1, 6, 2deg1nn0clb 20013 . . . . 5 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1 deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
6212, 36, 61syl2anc 643 . . . 4 IDomn .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1 deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
6360, 62mpbird 224 . . 3 IDomn .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 36, 63fta1g 20090 . 2 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 deg1 .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
65 eqid 2436 . . . . . . 7 s s
66 eqid 2436 . . . . . . 7 s s
67 fvex 5742 . . . . . . . . 9
6829, 67eqeltri 2506 . . . . . . . 8
6968a1i 11 . . . . . . 7 IDomn
704, 1, 65, 29evl1rhm 19949 . . . . . . . . . 10 eval1 Poly1 RingHom s
7110, 70syl 16 . . . . . . . . 9 IDomn eval1 Poly1 RingHom s
722, 66rhmf 15827 . . . . . . . . 9 eval1 Poly1 RingHom s eval1Poly1 s
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8 IDomn eval1Poly1 s
7473, 36ffvelrnd 5871 . . . . . . 7 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 s
7565, 29, 66, 7, 69, 74pwselbas 13711 . . . . . 6 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
76 ffn 5591 . . . . . 6 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
7775, 76syl 16 . . . . 5 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
78 fniniseg2 5853 . . . . 5 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
7977, 78syl 16 . . . 4 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
8010adantr 452 . . . . . . . . 9 IDomn
81 simpr 448 . . . . . . . . 9 IDomn
824, 21, 29, 1, 2, 80, 81evl1vard 19953 . . . . . . . . . 10 IDomn var1 Poly1 eval1var1
83 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 .gmulGrp
84 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11 IDomn
8584, 53syl 16 . . . . . . . . . 10 IDomn
864, 1, 29, 2, 80, 81, 82, 25, 83, 85evl1expd 19958 . . . . . . . . 9 IDomn .gmulGrpPoly1var1 Poly1 eval1.gmulGrpPoly1var1
87 simpl2 961 . . . . . . . . . 10 IDomn
884, 1, 29, 28, 2, 80, 87, 81evl1scad 19951 . . . . . . . . 9 IDomn algScPoly1 Poly1 eval1algScPoly1
89 eqid 2436 . . . . . . . . 9
904, 1, 29, 2, 80, 81, 86, 88, 34, 89evl1subd 19955 . . . . . . . 8 IDomn .gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1 Poly1 eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
9190simprd 450 . . . . . . 7 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
9291eqeq1d 2444 . . . . . 6 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
93 rnggrp 15669 . . . . . . . . 9
9412, 93syl 16 . . . . . . . 8 IDomn
9594adantr 452 . . . . . . 7 IDomn
96 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
9796rngmgp 15670 . . . . . . . . . 10 mulGrp
9812, 97syl 16 . . . . . . . . 9 IDomn mulGrp
9998adantr 452 . . . . . . . 8 IDomn mulGrp
10096, 29mgpbas 15654 . . . . . . . . 9 mulGrp
101100, 83mulgnncl 14905 . . . . . . . 8 mulGrp
10299, 84, 81, 101syl3anc 1184 . . . . . . 7 IDomn
10329, 5, 89grpsubeq0 14875 . . . . . . 7
10495, 102, 87, 103syl3anc 1184 . . . . . 6 IDomn
10592, 104bitrd 245 . . . . 5 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
106105rabbidva 2947 . . . 4 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
10779, 106eqtrd 2468 . . 3 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
108107fveq2d 5732 . 2 IDomn eval1.gmulGrpPoly1var1Poly1algScPoly1
10964, 108, 593brtr3d 4241 1 IDomn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  crab 2709  cvv 2956  csn 3814   class class class wbr 4212  ccnv 4877  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc0 8990  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cn 10000  cn0 10221  chash 11618  cbs 13469   s cpws 13670  c0g 13723  cmnd 14684  cgrp 14685  csg 14688  .gcmg 14689  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  ccrg 15661   RingHom crh 15817  NzRingcnzr 16328  Domncdomn 16340  IDomncidom 16341  algSccascl 16371  var1cv1 16570  Poly1cpl1 16571  eval1ce1 16573   deg1 cdg1 19977 This theorem is referenced by:  idomodle  27489 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-evl1 16580  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979  df-mon1 20053  df-uc1p 20054  df-q1p 20055  df-r1p 20056
 Copyright terms: Public domain W3C validator