Theorem idosd 10677

Description: The identity is a morphism which has the same object as its domain and its codomain.

Hypotheses

Ref	Expression
idosd.1	|- O = dom J
idosd.2	|- D = (dom` T)
idosd.3	|- J = (id` T)
idosd.4	|- C = (cod` T)

Assertion

Ref	Expression
idosd	|- ((T e. Ded /\ A e. O) -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A))

Proof of Theorem idosd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idosd.2	. . . 4 |- D = (dom` T)
2		idosd.4	. . . 4 |- C = (cod` T)
3		idosd.3	. . . 4 |- J = (id` T)
4		eqid 1475	. . . 4 |- (o` T) = (o` T)
5		eqid 1475	. . . 4 |- dom D = dom D
6		idosd.1	. . . 4 |- O = dom J
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dedi 10670	. . 3 |- (T e. Ded -> ((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) /\ (A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (D` (z(o` T)y)) = (D` y)) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (C` (z(o` T)y)) = (C` z)))))
8		fveq2 3724	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (J` x) = (J` A))
9	8	fveq2d 3728	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (D` (J` x)) = (D` (J` A)))
10		id 59	. . . . . . . 8 |- (x = A -> x = A)
11	9, 10	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((D` (J` x)) = x <-> (D` (J` A)) = A))
12	8	fveq2d 3728	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (C` (J` x)) = (C` (J` A)))
13	12, 10	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((C` (J` x)) = x <-> (C` (J` A)) = A))
14	11, 13	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (x = A -> (((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) <-> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
15	14	rcla4cv 1874	. . . . 5 |- (A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
16	15	3ad2ant2 801	. . . 4 |- ((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
17	16	adantr 389	. . 3 |- (((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) /\ (A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (D` (z(o` T)y)) = (D` y)) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (C` (z(o` T)y)) = (C` z)))) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
18	7, 17	syl 10	. 2 |- (T e. Ded -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
19	18	imp 350	1 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  <.cop 2411  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Algcalg 10643  domcdom_ 10644  codccod_ 10645  idcid_ 10646  oco_ 10647  Dedcded 10667

This theorem is referenced by:  rdmob 10681  rcmob 10682  idosc 10702  eqidob 10723  homib 10724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668

Copyright terms: Public domain