Theorem idssen 4396

Description: Equality implies equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- I (_ ~~

Proof of Theorem idssen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 3269	. 2 |- Rel I
2		visset 1810	. . . . 5 |- y e. V
3	2	ideq 3273	. . . 4 |- (xIy <-> x = y)
4		f1oi 3712	. . . . . 6 |- (I |` x):x-1-1-onto->x
5		f1oeq3 3681	. . . . . 6 |- (x = y -> ((I |` x):x-1-1-onto->x <-> (I |` x):x-1-1-onto->y))
6	4, 5	mpbii 193	. . . . 5 |- (x = y -> (I |` x):x-1-1-onto->y)
7		visset 1810	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	f1oen 4388	. . . . 5 |- ((I |` x):x-1-1-onto->y -> x ~~ y)
9	6, 8	syl 10	. . . 4 |- (x = y -> x ~~ y)
10	3, 9	sylbi 199	. . 3 |- (xIy -> x ~~ y)
11		df-br 2616	. . 3 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
12		df-br 2616	. . 3 |- (x ~~ y <-> <.x, y>. e. ~~ )
13	10, 11, 12	3imtr3 218	. 2 |- (<.x, y>. e. I -> <.x, y>. e. ~~ )
14	1, 13	relssi 3244	1 |- I (_ ~~

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2044  <.cop 2408   class class class wbr 2615  Icid 2827   |` cres 3168  -1-1-onto->wf1o 3177   ~~ cen 4357

This theorem is referenced by:  dmen 4397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360

Copyright terms: Public domain