Theorem idunop 9841

Description: The identity function (restricted to Hilbert space) is a unitary operator.

Assertion

Ref	Expression
idunop	|- (I |` H~) e. UniOp

Proof of Theorem idunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunopt 9739	. 2 |- ((I |` H~) e. UniOp <-> ((I |` H~):H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((I |` H~)` x) .ih ((I |` H~)` y)) = (x .ih y)))
2		f1oi 3708	. . 3 |- (I |` H~):H~-1-1-onto->H~
3		f1ofo 3686	. . 3 |- ((I |` H~):H~-1-1-onto->H~ -> (I |` H~):H~-onto->H~)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- (I |` H~):H~-onto->H~
5		fvresi 3834	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((I |` H~)` x) = x)
6		fvresi 3834	. . . 4 |- (y e. H~ -> ((I |` H~)` y) = y)
7	5, 6	opreqan12d 3970	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((I |` H~)` x) .ih ((I |` H~)` y)) = (x .ih y))
8	7	rgen2a 1696	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (((I |` H~)` x) .ih ((I |` H~)` y)) = (x .ih y)
9	1, 4, 8	mpbir2an 729	1 |- (I |` H~) e. UniOp

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Icid 2826   |` cres 3167  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   .ih csp 8732  UniOpcuo 8757

This theorem is referenced by:  idlnop 9855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-unop 9709

Copyright terms: Public domain