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Theorem iincld 16739
Description: The indexed intersection of a collection  B ( x ) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iincld  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iincld
StepHypRef Expression
1 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21cldss 16729 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
3 dfss4 3378 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
42, 3sylib 190 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
54ralimi 2593 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
6 iineq2 3896 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  |^|_ x  e.  A  B )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
87adantl 454 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
9 iindif2 3945 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
109adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
118, 10eqtr3d 2292 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) ) )
12 r19.2z 3518 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
13 cldrcl 16726 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1413rexlimivw 2638 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1512, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
161cldopn 16731 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
1716ralimi 2593 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
1817adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
19 iunopn 16607 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )
2015, 18, 19syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
211opncld 16733 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2215, 20, 21syl2anc 645 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2311, 22eqeltrd 2332 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    \ cdif 3124    C_ wss 3127   (/)c0 3430   U.cuni 3801   U_ciun 3879   |^|_ciin 3880   ` cfv 4673   Topctop 16594   Clsdccld 16716
This theorem is referenced by:  intcld  16740  riincld  16744  hauscmplem  17096  ubthlem1  21410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-fv 4689  df-top 16599  df-cld 16719
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