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Theorem iincld 16772
Description: The indexed intersection of a collection  B ( x ) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iincld  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iincld
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21cldss 16762 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
3 dfss4 3404 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
42, 3sylib 188 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
54ralimi 2619 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
6 iineq2 3923 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  |^|_ x  e.  A  B )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
87adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
9 iindif2 3972 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
118, 10eqtr3d 2318 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) ) )
12 r19.2z 3544 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
13 cldrcl 16759 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1413rexlimivw 2664 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1512, 14syl 15 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
161cldopn 16764 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
1716ralimi 2619 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
1817adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
19 iunopn 16640 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
211opncld 16766 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2215, 20, 21syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2311, 22eqeltrd 2358 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    \ cdif 3150    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U.cuni 3828   U_ciun 3906   |^|_ciin 3907   ` cfv 5221   Topctop 16627   Clsdccld 16749
This theorem is referenced by:  intcld  16773  riincld  16777  hauscmplem  17129  ubthlem1  21443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-fv 5229  df-top 16632  df-cld 16752
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