Theorem iincld 7629

Description: The indexed intersection of a collection B(x) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
iincld	|- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B e. (Clsd` J))

Distinct variable groups:   x,A   x,J

Proof of Theorem iincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . . . . . . . 10 |- U.J = U.J
2	1	cldss 7621	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> B (_ U.J)
3	2	ex 373	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> B (_ U.J))
4		dfss4 2238	. . . . . . . 8 |- (B (_ U.J <-> (U.J \ (U.J \ B)) = B)
5	3, 4	syl6ib 212	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> (U.J \ (U.J \ B)) = B))
6	5	r19.20sdv 1707	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.x e. A B e. (Clsd` J) -> A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B))
7	6	imp 350	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B)
8		iineq2 2574	. . . . 5 |- (A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
10	9	3adant2 797	. . 3 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
11		iindif2 2606	. . . 4 |- (A =/= (/) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
12	11	3ad2ant2 800	. . 3 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
13	10, 12	eqtr3d 1506	. 2 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
14	1	iscld 7619	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) <-> (B (_ U.J /\ (U.J \ B) e. J)))
15		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((B (_ U.J /\ (U.J \ B) e. J) -> (U.J \ B) e. J)
16	14, 15	syl6bi 214	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> (U.J \ B) e. J))
17	16	r19.20sdv 1707	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.x e. A B e. (Clsd` J) -> A.x e. A (U.J \ B) e. J))
18	17	imp 350	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> A.x e. A (U.J \ B) e. J)
19		iunopnt 7549	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A (U.J \ B) e. J) -> U_x e. A (U.J \ B) e. J)
20	18, 19	syldan 467	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> U_x e. A (U.J \ B) e. J)
21		iunss 2586	. . . . . . 7 |- (U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J <-> A.x e. A (U.J \ B) (_ U.J)
22		difss 2163	. . . . . . . 8 |- (U.J \ B) (_ U.J
23	22	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (U.J \ B) (_ U.J)
24	21, 23	mprgbir 1698	. . . . . 6 |- U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J
25	1	isopn2 7623	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J) -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
26	24, 25	mpan2 695	. . . . 5 |- (J e. Top -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
27	26	adantr 389	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
28	20, 27	mpbid 195	. . 3 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J))
29	28	3adant2 797	. 2 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J))
30	13, 29	eqeltrd 1545	1 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  A.wral 1642   \ cdif 2040   (_ wss 2043  (/)c0 2276  U.cuni 2498  U_ciun 2561  |^|_ciin 2562  ` cfv 3177  Topctop 7538  Clsdccld 7610

This theorem is referenced by:  intcld 7630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-top 7542  df-cld 7613

Copyright terms: Public domain