Theorem iinss 2568

Description: Subset implication for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iinss	|- (E.x e. A B (_ C -> |^|_x e. A B (_ C)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem iinss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 1023	. . . 4 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) -> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
2		df-rex 1626	. . . . 5 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
3		19.28v 1281	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
4	3	exbii 1027	. . . . 5 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
5	2, 4	bitr4 176	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
6		df-rex 1626	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
7	6	albii 975	. . . 4 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
8	1, 5, 7	3imtr4 219	. . 3 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C))
9		r19.36av 1736	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (A.x e. A y e. B -> y e. C))
10		visset 1788	. . . . . 6 |- y e. V
11		eliin 2539	. . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
13	9, 12	syl5ib 206	. . . 4 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
14	13	19.20i 968	. . 3 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
15	8, 14	syl 10	. 2 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
16		dfss2 2029	. . 3 |- (B (_ C <-> A.y(y e. B -> y e. C))
17	16	rexbii 1644	. 2 |- (E.x e. A B (_ C <-> E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C))
18		dfss2 2029	. 2 |- (|^|_x e. A B (_ C <-> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
19	15, 17, 18	3imtr4 219	1 |- (E.x e. A B (_ C -> |^|_x e. A B (_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   e. wcel 1105  A.wral 1621  E.wrex 1622  Vcvv 1786   (_ wss 2018  |^|_ciin 2535

This theorem is referenced by:  scott0 4641  iintlem2 8827

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-in 2022  df-ss 2024  df-iin 2537

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