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Theorem iinun2 3970
Description: Indexed intersection of union. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. Use intiin 3958 to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 19-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
iinun2  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    C( x)

Proof of Theorem iinun2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.32v 2688 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3318 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C
) )
4 vex 2793 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 eliin 3912 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  C )
76orbi2i 505 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  |^|_ x  e.  A  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
81, 3, 73bitr4i 268 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
9 eliin 3912 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) ) )
104, 9ax-mp 8 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C ) )
11 elun 3318 . . 3  |-  ( y  e.  ( B  u.  |^|_
x  e.  A  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
128, 10, 113bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  y  e.  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
)
1312eqriv 2282 1  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   _Vcvv 2790    u. cun 3152   |^|_ciin 3908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ral 2550  df-v 2792  df-un 3159  df-iin 3910
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