Theorem imaco 3493

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ((A o. B)"C) = (A"(B"C))

Proof of Theorem imaco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1647	. . 3 |- (E.y e. (B"C)yAx <-> E.y(y e. (B"C) /\ yAx))
2		visset 1809	. . . 4 |- x e. V
3	2	elima 3400	. . 3 |- (x e. (A"(B"C)) <-> E.y e. (B"C)yAx)
4	2	elima 3400	. . . . . 6 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.z e. C z(A o. B)x)
5		visset 1809	. . . . . . . 8 |- z e. V
6	5, 2	brco 3284	. . . . . . 7 |- (z(A o. B)x <-> E.y(zBy /\ yAx))
7	6	rexbii 1665	. . . . . 6 |- (E.z e. C z(A o. B)x <-> E.z e. C E.y(zBy /\ yAx))
8	4, 7	bitr 173	. . . . 5 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.z e. C E.y(zBy /\ yAx))
9		rexcom4 1820	. . . . 5 |- (E.z e. C E.y(zBy /\ yAx) <-> E.yE.z e. C (zBy /\ yAx))
10		r19.41v 1760	. . . . . 6 |- (E.z e. C (zBy /\ yAx) <-> (E.z e. C zBy /\ yAx))
11	10	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.yE.z e. C (zBy /\ yAx) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
12	8, 9, 11	3bitr 177	. . . 4 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
13		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
14	13	elima 3400	. . . . . 6 |- (y e. (B"C) <-> E.z e. C zBy)
15	14	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((y e. (B"C) /\ yAx) <-> (E.z e. C zBy /\ yAx))
16	15	exbii 1049	. . . 4 |- (E.y(y e. (B"C) /\ yAx) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
17	12, 16	bitr4 176	. . 3 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.y(y e. (B"C) /\ yAx))
18	1, 3, 17	3bitr4r 184	. 2 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> x e. (A"(B"C)))
19	18	eqriv 1472	1 |- ((A o. B)"C) = (A"(B"C))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  "cima 3168   o. ccom 3169

This theorem is referenced by:  cnco 7718  cnpco 7719  cmphmp 10444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186

Copyright terms: Public domain