Theorem imadmrn 3410

Description: The image of the domain of a class is the range of the class.

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- (A"dom A) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1810	. . . . . . 7 |- x e. V
2	1	opeldm 3310	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
3	2	pm4.71i 636	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. dom A))
4		ancom 435	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. A /\ x e. dom A) <-> (x e. dom A /\ <.x, y>. e. A))
5	3, 4	bitr2 174	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> <.x, y>. e. A)
6	5	exbii 1050	. . 3 |- (E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> E.x<.x, y>. e. A)
7	6	abbii 1573	. 2 |- {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
8		dfima3 3402	. 2 |- (A"dom A) = {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)}
9		dfrn3 3300	. 2 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}
10	7, 8, 9	3eqtr4 1503	1 |- (A"dom A) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1462  <.cop 2408  dom cdm 3166  ran crn 3167  "cima 3169

This theorem is referenced by:  fnima 3600  fnex 3603  foima 3671  f1imacnv 3700  fsn2 3831  elunirn 3863  mapsn 4338  phplem4 4500  php3 4504  unir1 4650  cnconst 7740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-cnv 3182  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187

Copyright terms: Public domain