MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imai Unicode version

Theorem imai 5015
Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
imai  |-  (  _I  " A )  =  A

Proof of Theorem imai
StepHypRef Expression
1 dfima3 5003 . 2  |-  (  _I  " A )  =  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  _I  ) }
2 df-br 3998 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
3 vex 2766 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
43ideq 4824 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
52, 4bitr3i 244 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
65anbi2i 678 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  y ) )
7 ancom 439 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  y )  <->  ( x  =  y  /\  x  e.  A )
)
86, 7bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  )  <->  ( x  =  y  /\  x  e.  A ) )
98exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  E. x ( x  =  y  /\  x  e.  A ) )
10 eleq1 2318 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
113, 10ceqsexv 2798 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  e.  A )  <->  y  e.  A )
129, 11bitri 242 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  y  e.  A )
1312abbii 2370 . 2  |-  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  y >.  e.  _I  ) }  =  { y  |  y  e.  A }
14 abid2 2375 . 2  |-  { y  |  y  e.  A }  =  A
151, 13, 143eqtri 2282 1  |-  (  _I  " A )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   <.cop 3617   class class class wbr 3997    _I cid 4276   "cima 4664
This theorem is referenced by:  rnresi  5016  cnvresid  5260  ecidsn  6676  mbfid  18954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682
  Copyright terms: Public domain W3C validator