Theorem imai 3423

Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
imai	|- (I"A) = A

Proof of Theorem imai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 3412	. 2 |- (I"A) = {y | E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I)}
2		df-br 2625	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
3		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
4	3	ideq 3283	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> x = y)
5	2, 4	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
6	5	anbi2i 482	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> (x e. A /\ x = y))
7		ancom 437	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ x = y) <-> (x = y /\ x e. A))
8	6, 7	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> (x = y /\ x e. A))
9	8	exbii 1053	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> E.x(x = y /\ x e. A))
10		eleq1 1537	. . . . 5 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
11	3, 10	ceqsexv 1838	. . . 4 |- (E.x(x = y /\ x e. A) <-> y e. A)
12	9, 11	bitr 173	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> y e. A)
13	12	abbii 1578	. 2 |- {y | E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I)} = {y | y e. A}
14		abid2 1583	. 2 |- {y | y e. A} = A
15	1, 13, 14	3eqtr 1502	1 |- (I"A) = A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  <.cop 2415   class class class wbr 2624  Icid 2837  "cima 3179

This theorem is referenced by:  rnresi 3424  cnvresid 3575  ecidsn 4293  idcn 7763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197

Copyright terms: Public domain