Theorem imaiun 3855

Description: The image of a union is the indexed union of the images. Theorem 3K(a) of [Enderton] p. 50.

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- (A"U.B) = U_x e. B (A"x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem imaiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2501	. . . . . 6 |- (z e. U.B <-> E.x(z e. x /\ x e. B))
2	1	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
3	2	exbii 1049	. . . 4 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
4		19.41v 1303	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
5		anass 439	. . . . . . . . 9 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)))
6		an12 484	. . . . . . . . 9 |- ((z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
7	5, 6	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
8	7	exbii 1049	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
9	4, 8	bitr3 175	. . . . . 6 |- ((E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
10	9	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
11		excom 1044	. . . . 5 |- (E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
12		exdistr 1307	. . . . 5 |- (E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
13	10, 11, 12	3bitr 177	. . . 4 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
14		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
15	14	elima3 3402	. . . . . 6 |- (y e. (A"x) <-> E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
16	15	rexbii 1665	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A"x) <-> E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
17		df-rex 1647	. . . . 5 |- (E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
18	16, 17	bitr2 174	. . . 4 |- (E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x e. B y e. (A"x))
19	3, 13, 18	3bitr 177	. . 3 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x e. B y e. (A"x))
20	14	elima3 3402	. . 3 |- (y e. (A"U.B) <-> E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A))
21		eliun 2565	. . 3 |- (y e. U_x e. B (A"x) <-> E.x e. B y e. (A"x))
22	19, 20, 21	3bitr4 183	. 2 |- (y e. (A"U.B) <-> y e. U_x e. B (A"x))
23	22	eqriv 1472	1 |- (A"U.B) = U_x e. B (A"x)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643  <.cop 2407  U.cuni 2498  U_ciun 2561  "cima 3168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186

Copyright terms: Public domain