Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imambfm Unicode version

Theorem imambfm 24399
Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets  K, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets  a. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
imambfm.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
imambfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
imambfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    F, a    K, a    S, a    T, a    ph, a

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 imambfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
4 imambfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
54sgsiga 24314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  K )  e.  U. ran sigAlgebra )
63, 5eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
92, 7, 8mbfmf 24392 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
101ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
116ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
12 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13 sssigagen 24317 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  _V  ->  K  C_  (sigaGen `  K )
)
144, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  (sigaGen `  K
) )
1514, 3sseqtr4d 3321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  T )
1615ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  K  C_  T )
17 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  K )
1816, 17sseldd 3285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  T )
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 24394 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2019ralrimiva 2725 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
219, 20jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
22 unielsiga 24300 . . . . . 6  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
236, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  T
)
25 unielsiga 24300 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
261, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
2726adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. S  e.  S
)
28 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
29 elmapg 6960 . . . . 5  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
3029biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S )  /\  F : U. S --> U. T
)  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
3124, 27, 28, 30syl21anc 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
323adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  (sigaGen `  K ) )
33 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ph )
34 ssrab2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T
35 pwuni 4329 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ~P U. T
3634, 35sstri 3293 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T )
38 fimacnv 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  ( `' F " U. T )  =  U. S )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  = 
U. S )
4039, 27eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  e.  S )
41 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U. T  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. T
) )
4241eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  U. T  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4342elrab 3028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. T  e.  T  /\  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4424, 40, 43sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
456ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4645, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. T  e.  T )
47 elrabi 3026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  T )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  x  e.  T )
49 difelsiga 24305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( U. T  \  x )  e.  T
)
5045, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  T )
51 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  F : U. S --> U. T
)
52 ffun 5526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
53 difpreima 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T )  \ 
( `' F "
x ) ) )
5451, 52, 533syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) ) )
5539difeq1d 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F "
x ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F " x ) ) )
571ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5857, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. S  e.  S )
59 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " x ) )
6059eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
6160elrab 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( x  e.  T  /\  ( `' F " x )  e.  S ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " x )  e.  S )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " x )  e.  S )
64 difelsiga 24305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  e.  S  /\  ( `' F " x )  e.  S )  -> 
( U. S  \ 
( `' F "
x ) )  e.  S )
6557, 58, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. S  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6656, 65eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6754, 66eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S )
68 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " ( U. T  \  x ) ) )
6968eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7069elrab 3028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( ( U. T  \  x
)  e.  T  /\  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7150, 67, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
7271ralrimiva 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
736ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
74 sspwb 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  T  <->  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P T )
7534, 74mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P T
7675sseli 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  ~P T )
7776ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  e.  ~P T
)
78 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
79 sigaclcu 24289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P T  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
8073, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
81 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
8281simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  F : U. S --> U. T )
83 unipreima 23891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
8482, 52, 833syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
851ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
87 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
88 elelpwi 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  y  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
8986, 87, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
90 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " y ) )
9190eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " y )  e.  S ) )
9291elrab 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( y  e.  T  /\  ( `' F " y )  e.  S ) )
9392simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9594ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
96 nfcv 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
x
9796sigaclcuni 24290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9885, 95, 78, 97syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9984, 98eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  e.  S
)
100 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  U. x  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. x
) )
101100eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  U. x  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
102101elrab 3028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. x  e.  T  /\  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
10380, 99, 102sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
104103ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) )
105104ralrimiva 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ~P  { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) )
10644, 72, 1053jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) )
107 rabexg 4287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  _V )
108 issiga 24283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  e.  _V  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <->  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) ) )
1096, 107, 1083syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <-> 
( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  ~P  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) ) ) ) )
110109biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
11133, 37, 106, 110syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
1123unieqd 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
113 unisg 24315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  _V  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
1144, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
115112, 114eqtrd 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
116115fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (sigAlgebra `  U. T )  =  (sigAlgebra `  U. K ) )
117116eleq2d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
118117adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
119111, 118mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. K ) )
12015adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  T
)
121 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
122 ssrab 3357 . . . . . . . 8  |-  ( K 
C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( K  C_  T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
123120, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
124 sigagenss 24321 . . . . . . 7  |-  ( ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K )  /\  K  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (sigaGen `  K )  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
125119, 123, 124syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  (sigaGen `  K )  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12632, 125eqsstrd 3318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12734a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T )
128126, 127eqssd 3301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
129 rabid2 2821 . . . 4  |-  ( T  =  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
130128, 129sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
1311adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1326adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
133131, 132ismbfm 24389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <-> 
( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
13431, 130, 133mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13521, 134impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   U_ciun 4028   class class class wbr 4146   omcom 4778   `'ccnv 4810   ran crn 4812   "cima 4814   Fun wfun 5381   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947    ~<_ cdom 7036  sigAlgebracsiga 24279  sigaGencsigagen 24310  MblFnMcmbfm 24387
This theorem is referenced by:  cnmbfm  24400  mbfmco2  24402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-ac2 8269
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-ac 7923  df-cda 7974  df-siga 24280  df-sigagen 24311  df-mbfm 24388
  Copyright terms: Public domain W3C validator