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Theorem imambfm 23569
Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets  K, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets  a. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
imambfm.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
imambfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
imambfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    F, a    K, a    S, a    T, a    ph, a

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 imambfm.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
4 imambfm.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
54sgsiga 23505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  K )  e.  U. ran sigAlgebra )
63, 5eqeltrd 2359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
8 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )
92, 7, 8mbfmf 23562 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  F : U. S --> U. T
)
101ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
116ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
12 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )
13 sssigagen 23508 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  _V  ->  K  C_  (sigaGen `  K )
)
144, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  C_  (sigaGen `  K
) )
1514, 3sseqtr4d 3217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  T )
1615ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  K  C_  T )
17 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  K )
1816, 17sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  T )
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 23564 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F "
a )  e.  S
)
2019ralrimiva 2628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
219, 20jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )  ->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
2221ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. )  ->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
23 unielsiga 23491 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
246, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  T
)
26 unielsiga 23491 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
271, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. S  e.  S
)
29 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
30 elmapg 6787 . . . . . 6  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
3130biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S )  /\  F : U. S --> U. T
)  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
3225, 28, 29, 31syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
33 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ph )
3433, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  (sigaGen `  K ) )
35 ssrab2 3260 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T
36 pwuni 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  C_  ~P U. T
3735, 36sstri 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T
3837a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T )
39 fimacnv 5659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  ( `' F " U. T )  =  U. S )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  = 
U. S )
4140, 28eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  e.  S )
4225, 41jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( U. T  e.  T  /\  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
43 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  U. T  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. T
) )
4443eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U. T  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4544elrab 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. T  e.  T  /\  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4642, 45sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
476ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4847, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. T  e.  T )
49 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " x ) )
5049eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
5150elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( x  e.  T  /\  ( `' F " x )  e.  S ) )
5251simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  T )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  x  e.  T )
54 difelsiga 23496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( U. T  \  x )  e.  T
)
5547, 48, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  T )
56 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  F : U. S --> U. T
)
57 ffun 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
58 difpreima 5655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T )  \ 
( `' F "
x ) ) )
5956, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) ) )
6040difeq1d 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F "
x ) ) )
6160ralrimivw 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F "
x ) ) )
6261r19.21bi 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F " x ) ) )
631ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6463, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. S  e.  S )
6551simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " x )  e.  S )
6665adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " x )  e.  S )
67 difelsiga 23496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  e.  S  /\  ( `' F " x )  e.  S )  -> 
( U. S  \ 
( `' F "
x ) )  e.  S )
6863, 64, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. S  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6962, 68eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
7059, 69eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S )
71 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " ( U. T  \  x ) ) )
7271eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7372elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( ( U. T  \  x
)  e.  T  /\  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7473biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U. T  \  x )  e.  T  /\  ( `' F "
( U. T  \  x ) )  e.  S )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
7555, 70, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
7675ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
776ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
78 sspwb 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  T  <->  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P T )
7935, 78mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P T
8079sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  ~P T )
8180ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  e.  ~P T
)
82 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
83 sigaclcu 23480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P T  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
8477, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
85 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
8685simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  F : U. S --> U. T )
8786, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  Fun  F )
88 unipreima 23211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
901ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
91 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
92 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
93 elelpwi 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  y  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
9491, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
95 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  y  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " y ) )
9695eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " y )  e.  S ) )
9796elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( y  e.  T  /\  ( `' F " y )  e.  S ) )
9897simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9994, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " y )  e.  S )
10099ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
101 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
102101sigaclcuni 23481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
10390, 100, 82, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
10489, 103eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  e.  S
)
105 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. x  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. x
) )
106105eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  U. x  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
107106elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. x  e.  T  /\  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
108107biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. x  e.  T  /\  ( `' F " U. x )  e.  S
)  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
10984, 104, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
110109ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) )
111110ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ~P  { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) )
11246, 76, 1113jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) )
113 rabexg 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  _V )
114 issiga 23474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  e.  _V  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <->  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) ) )
1156, 113, 1143syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <-> 
( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  ~P  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) ) ) ) )
116115biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  ~P  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) ) )
117116imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
11833, 38, 112, 117syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
1193unieqd 3840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
120 unisg 23506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  _V  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
1214, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
122119, 121eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
123122fveq2d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (sigAlgebra `  U. T )  =  (sigAlgebra `  U. K ) )
124123eleq2d 2352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
125124adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
126118, 125mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. K ) )
12733, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  T
)
128 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
129 ssrab 3253 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( K  C_  T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
130129biimpri 197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )  ->  K  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
131127, 128, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
132 sigagenss 23512 . . . . . . . 8  |-  ( ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K )  /\  K  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (sigaGen `  K )  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
133126, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  (sigaGen `  K )  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
13434, 133eqsstrd 3214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
13535a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T )
136134, 135eqssd 3198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
137 rabid2 2719 . . . . 5  |-  ( T  =  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
138136, 137sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
13933, 1syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
14033, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
141139, 140ismbfm 23559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
14232, 138, 141mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  (MblFnM `  <. S ,  T >. ) )
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) )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   <.cop 3645   U.cuni 3829   U_ciun 3907   class class class wbr 4025   omcom 4658   `'ccnv 4690   ran crn 4692   "cima 4694   Fun wfun 5251   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774    ~<_ cdom 6863  sigAlgebracsiga 23470  sigaGencsigagen 23501  MblFnMcmbfm 23557
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-ac2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-ac 7745  df-cda 7796  df-siga 23471  df-sigagen 23502  df-mbfm 23558
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