MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Unicode version

Theorem imcld 11676
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 11592 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685   ` cfv 5221   CCcc 8731   RRcr 8732   Imcim 11579
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12050  resincl  12416  sin01bnd  12461  recld2  18316  mbfeqa  18994  mbfss  18997  mbfmulc2re  18999  mbfadd  19012  mbfmulc2  19014  mbflim  19019  mbfmul  19077  iblcn  19149  itgcnval  19150  itgre  19151  itgim  19152  iblneg  19153  itgneg  19154  ibladd  19171  itgadd  19175  iblabs  19179  itgmulc2  19184  aaliou2b  19717  efif1olem3  19902  eff1olem  19906  logimclad  19926  logrnaddcl  19927  lognegb  19939  logcj  19956  efiarg  19957  cosargd  19958  argregt0  19960  argrege0  19961  argimgt0  19962  argimlt0  19963  logimul  19964  tanarg  19966  logcnlem2  19986  logcnlem3  19987  logcnlem4  19988  logcnlem5  19989  logcn  19990  dvloglem  19991  logf1o2  19993  efopnlem1  19999  efopnlem2  20000  cxpsqrlem  20045  abscxpbnd  20089  ang180lem2  20104  lawcos  20110  isosctrlem1  20114  isosctrlem2  20115  asinneg  20178  asinsinlem  20183  atanlogaddlem  20205  atanlogsublem  20207  atanlogsub  20208  basellem3  20316  cntotbnd  25931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator