MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imneg Unicode version

Theorem imneg 11620
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )

Proof of Theorem imneg
StepHypRef Expression
1 recl 11597 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 8863 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 8798 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11598 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 8823 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negdid 9172 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
9 replim 11603 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
109negeqd 9048 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  -u ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
11 mulneg2 9219 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
123, 5, 11sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1312oveq2d 5876 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
148, 10, 133eqtr4d 2327 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )
1514fveq2d 5531 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) ) )
161renegcld 9212 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
174renegcld 9212 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
18 crim 11602 . . 3  |-  ( (
-u ( Re `  A )  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  -u ( Im `  A ) )
2015, 19eqtrd 2317 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   _ici 8741    + caddc 8742    x. cmul 8744   -ucneg 9040   Recre 11584   Imcim 11585
This theorem is referenced by:  imsub  11622  cjneg  11634  imnegi  11668  imnegd  11697  logreclem  20118  asinlem3  20169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-2 9806  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588
  Copyright terms: Public domain W3C validator