Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Unicode version

Theorem imsdval 22131
 Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1
imsdval.3
imsdval.6 CV
imsdval.8
Assertion
Ref Expression
imsdval

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6
2 imsdval.6 . . . . . 6 CV
3 imsdval.8 . . . . . 6
41, 2, 3imsval 22130 . . . . 5
543ad2ant1 978 . . . 4
65fveq1d 5689 . . 3
7 imsdval.1 . . . . . 6
87, 1nvmf 22080 . . . . 5
9 opelxpi 4869 . . . . 5
10 fvco3 5759 . . . . 5
118, 9, 10syl2an 464 . . . 4
12113impb 1149 . . 3
136, 12eqtrd 2436 . 2
14 df-ov 6043 . 2
15 df-ov 6043 . . 3
1615fveq2i 5690 . 2
1713, 14, 163eqtr4g 2461 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cop 3777   cxp 4835   ccom 4841  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cnv 22016  cba 22018  cnsb 22021  CVcnmcv 22022  cims 22023 This theorem is referenced by:  imsdval2  22132  nvnd  22133  nvelbl  22138  vacn  22143  smcnlem  22146  sspimsval  22192  blometi  22257  blocnilem  22258  ubthlem2  22326  minvecolem2  22330  minvecolem4  22335  minvecolem5  22336  minvecolem6  22337  h2hmetdval  22434  hhssmetdval  22731 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033
 Copyright terms: Public domain W3C validator