Theorem imsdval 8281

Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59.

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval.1	|- X = (Base` U)
imsdval.3	|- M = (-v` U)
imsdval.6	|- N = (norm` U)
imsdval.8	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
imsdval	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (N` (AMB)))

Proof of Theorem imsdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval.3	. . . . . 6 |- M = (-v` U)
2		imsdval.6	. . . . . 6 |- N = (norm` U)
3		imsdval.8	. . . . . 6 |- D = (IndMet` U)
4	1, 2, 3	imsval 8280	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> D = (N o. M))
5	4	3ad2ant1 799	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> D = (N o. M))
6	5	fveq1d 3721	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (D` <.A, B>.) = ((N o. M)` <.A, B>.))
7		fvco 3769	. . . 4 |- ((Fun N /\ Fun M /\ <.A, B>. e. dom M) -> ((N o. M)` <.A, B>.) = (N` (M` <.A, B>.)))
8		imsdval.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
9	8, 2	nvf 8250	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
10		ffun 3625	. . . . . 6 |- (N:X-->RR -> Fun N)
11	9, 10	syl 10	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> Fun N)
12	11	3ad2ant1 799	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> Fun N)
13	8, 1	nvmf 8230	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> M:(X X. X)-->X)
14		ffun 3625	. . . . . 6 |- (M:(X X. X)-->X -> Fun M)
15	13, 14	syl 10	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> Fun M)
16	15	3ad2ant1 799	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> Fun M)
17		opelxpi 3213	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> <.A, B>. e. (X X. X))
18	17	3adant1 796	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> <.A, B>. e. (X X. X))
19		fdm 3627	. . . . . . 7 |- (M:(X X. X)-->X -> dom M = (X X. X))
20	13, 19	syl 10	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> dom M = (X X. X))
21	20	3ad2ant1 799	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> dom M = (X X. X))
22	18, 21	eleqtrrd 1549	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> <.A, B>. e. dom M)
23	7, 12, 16, 22	syl3anc 857	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N o. M)` <.A, B>.) = (N` (M` <.A, B>.)))
24	6, 23	eqtrd 1505	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (D` <.A, B>.) = (N` (M` <.A, B>.)))
25		df-opr 3960	. 2 |- (ADB) = (D` <.A, B>.)
26		df-opr 3960	. . 3 |- (AMB) = (M` <.A, B>.)
27	26	fveq2i 3722	. 2 |- (N` (AMB)) = (N` (M` <.A, B>.))
28	24, 25, 27	3eqtr4g 1529	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (N` (AMB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408   X. cxp 3164  dom cdm 3166   o. ccom 3170  Fun wfun 3172  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  -vcnsb 8172  normcnm 8173  IndMetcims 8174

This theorem is referenced by:  imsdval2 8282  nvnd 8283  nvelbl 8289  nvcni 8293  nvcni2 8294  va1cnlem 8307  sspimsval 8361  nvcnpi4 8383  blometi 8422  minveclem9 8512  minveclem28 8531  h2hmetdval 8803  hhssmetdval 9104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fo 3192  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184

Copyright terms: Public domain