Theorem imsdval2 21217

Description: Value of the distance function of the induced metric of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval2.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsdval2.2	|- G = ( +v ` U )
imsdval2.4	|- S = ( .s OLD ` U )
imsdval2.6	|- N = ( normCV ` U )
imsdval2.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
imsdval2	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem imsdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval2.1	. . 3 |- X = ( BaseSet ` U )
2		eqid 2258	. . 3 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
3		imsdval2.6	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
4		imsdval2.8	. . 3 |- D = ( IndMet ` U )
5	1, 2, 3, 4	imsdval 21216	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A ( -v ` U ) B ) ) )
6		imsdval2.2	. . . 4 |- G = ( +v ` U )
7		imsdval2.4	. . . 4 |- S = ( .s OLD ` U )
8	1, 6, 7, 2	nvmval 21161	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( -v ` U ) B ) = ( A G ( -u 1 S B ) ) )
9	8	fveq2d 5462	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A ( -v ` U ) B ) ) = ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
10	5, 9	eqtrd 2290	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   /\ w3a 939   = wceq 1619   e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   1c1 8706   -ucneg 9006   NrmCVeccnv 21101   +vcpv 21102   BaseSetcba 21103   .s OLDcns 21104   -vcnsb 21106   norm_CVcnmcv 21107   IndMetcims 21108

This theorem is referenced by:  imsmetlem  21220  nmcvcn  21229  smcnlem  21231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-neg 9008  df-grpo 20819  df-gid 20820  df-ginv 20821  df-gdiv 20822  df-ablo 20910  df-vc 21063  df-nv 21109  df-va 21112  df-ba 21113  df-sm 21114  df-0v 21115  df-vs 21116  df-nmcv 21117  df-ims 21118