Theorem imsmet 8324

Description: The induced metric of a normed complex vector space is a metric space. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58.

Hypothesis

Ref	Expression
imsmet.8	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
imsmet	|- (U e. NrmCVec -> D e. Met)

Proof of Theorem imsmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . . 4 |- (U = if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.) -> (IndMet` U) = (IndMet` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)))
2	1	eleq1d 1540	. . 3 |- (U = if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.) -> ((IndMet` U) e. Met <-> (IndMet` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) e. Met))
3		eqid 1475	. . . 4 |- (Base` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (Base` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
4		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (+v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
5		eqid 1475	. . . 4 |- (inv` (+v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))) = (inv` (+v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)))
6		eqid 1475	. . . 4 |- (.s` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (.s` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
7		eqid 1475	. . . 4 |- (0v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (0v` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
8		eqid 1475	. . . 4 |- (norm` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (norm` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
9		eqid 1475	. . . 4 |- (IndMet` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) = (IndMet` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.))
10		elimnvu 8315	. . . 4 |- if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.) e. NrmCVec
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imsmetlem 8323	. . 3 |- (IndMet` if(U e. NrmCVec, U, <.<. + , x. >., abs>.)) e. Met
12	2, 11	dedth 2383	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (IndMet` U) e. Met)
13		imsmet.8	. 2 |- D = (IndMet` U)
14	12, 13	syl5eqel 1552	1 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  <.cop 2411  ` cfv 3182   + caddc 5237   x. cmul 5239  abscabs 6750  Metcme 7789  invcgn 8035  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  normcnm 8209  IndMetcims 8210

This theorem is referenced by:  nvelbl 8325  nvcnf 8327  nvcnpf 8328  nvcni 8329  nvcni2 8330  nvlmcl 8332  nvlmle 8333  nmcnilem 8337  nmcn3 8341  nmcnc 8342  va1cnlem 8345  sm1cnilem 8347  ip1cnilem2 8374  ip1cnilem3 8375  ip1cnilem4 8376  ip1cnilem6 8378  nvcnpi3 8422  nvcnpi4 8423  blocni 8465  ipasslem6 8495  ubthlem3 8531  ubthlem4 8532  ubthlem6 8534  ubthlem11 8539  minveclem9 8553  minveclem29 8573  hlmet 8599  h2hcau 8849  h2hlm 8850  hhmet 9041  hhssmet 9147

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-met 7793  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220

Copyright terms: Public domain