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Theorem imval2 11638
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 11598 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21recnd 8863 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
3 2cn 9818 . . . . 5  |-  2  e.  CC
4 ax-icn 8798 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
53, 4mulcli 8844 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
6 2ne0 9831 . . . . 5  |-  2  =/=  0
7 ine0 9217 . . . . 5  |-  _i  =/=  0
83, 4, 6, 7mulne0i 9413 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
9 divcan4 9451 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Im
`  A )  x.  ( 2  x.  _i ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( Im
`  A ) )
105, 8, 9mp3an23 1269 . . 3  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
112, 10syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
12 recl 11597 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1312recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
14 mulcl 8823 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
154, 2, 14sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1613, 15addcld 8856 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
1716, 13, 15subsubd 9187 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
18 replim 11603 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
19 remim 11604 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2018, 19oveq12d 5878 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( * `  A ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
21152timesd 9956 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
22 mulcom 8825 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )
235, 22mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) )
24 mulass 8827 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
253, 4, 24mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2623, 25eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
272, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2813, 15pncan2d 9161 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( Re
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
2928oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
3021, 27, 293eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
3117, 20, 303eqtr4rd 2328 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( A  -  ( * `  A
) ) )
3231oveq1d 5875 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
3311, 32eqtr3d 2319 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739   _ici 8741    + caddc 8742    x. cmul 8744    - cmin 9039    / cdiv 9425   2c2 9797   *ccj 11583   Recre 11584   Imcim 11585
This theorem is referenced by:  resinval  12417  dvmptim  19321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-2 9806  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588
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