MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Unicode version

Theorem inaprc 8460
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8314 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
2 winaon 8312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  On )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3186 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 4579 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 4583 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 9 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 2793 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 8459 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2358 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 3833 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 199 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 8405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 8380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 8397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 7609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
w  e.  Tarski  ->  (
y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) ) )
2827rexlimdv 2668 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2912, 28mpi 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
30 eluni2 3833 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3129, 30sylibr 203 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3231ssriv 3186 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
337, 32eqssi 3197 . 2  |-  U. Inacc  =  On
34 ssonprc 4585 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
354, 34ax-mp 8 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3633, 35mpbir 200 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    e/ wnel 2449   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   U.cuni 3829   class class class wbr 4025   Ord word 4393   Oncon0 4394   dom cdm 4691   ` cfv 5257    ~< csdm 6864   cardccrd 7570   Inacc Wcwina 8306   Inacccina 8307   Tarskictsk 8372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-ac2 8091  ax-groth 8447
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-smo 6365  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-har 7274  df-r1 7438  df-card 7574  df-aleph 7575  df-cf 7576  df-acn 7577  df-ac 7745  df-wina 8308  df-ina 8309  df-tsk 8373
  Copyright terms: Public domain W3C validator