MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Unicode version

Theorem inaprc 8644
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 8498 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
2 winaon 8496 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3295 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 4706 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 4710 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 10 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 8643 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2460 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 3961 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 200 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 8589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 8564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 8581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 7794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726rexlimdvaa 2774 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2812, 27mpi 17 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
29 eluni2 3961 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3028, 29sylibr 204 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3130ssriv 3295 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
327, 31eqssi 3307 . 2  |-  U. Inacc  =  On
33 ssonprc 4712 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
344, 33ax-mp 8 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3532, 34mpbir 201 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    e/ wnel 2551   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   (/)c0 3571   U.cuni 3957   class class class wbr 4153   Ord word 4521   Oncon0 4522   dom cdm 4818   ` cfv 5394    ~< csdm 7044   cardccrd 7755   Inacc Wcwina 8490   Inacccina 8491   Tarskictsk 8556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-ac2 8276  ax-groth 8631
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-smo 6544  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-har 7459  df-r1 7623  df-card 7759  df-aleph 7760  df-cf 7761  df-acn 7762  df-ac 7930  df-wina 8492  df-ina 8493  df-tsk 8557
  Copyright terms: Public domain W3C validator