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Theorem incexc 12296
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Distinct variable group:    A, s

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 7145 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
2 hashcl 11350 . . . 4  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  NN0 )
32nn0cnd 10020 . . 3  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  CC )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  e.  CC )
5 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 pwfi 7151 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  e.  Fin )
8 diffi 7089 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ( ~P A  \  { (/)
} )  e.  Fin )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  e. 
Fin )
10 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  1  e.  CC )
1211negcld 9144 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
13 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  =/=  (/) )
1413adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  =/=  (/) )
15 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  e.  ~P A
)
16 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  C_  A )
18 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
195, 17, 18syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  e.  Fin )
20 hashnncl 11354 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2214, 21mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 s )  e.  NN )
23 nnm1nn0 10005 . . . . . 6  |-  ( (
# `  s )  e.  NN  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  e.  NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  -  1 )  e. 
NN0 )
2512, 24expcld 11245 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  e.  CC )
2617adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_  A )
27 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  A  C_ 
Fin )
2826, 27sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_ 
Fin )
29 unifi 7145 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  s  C_  Fin )  ->  U. s  e.  Fin )
3019, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  e.  Fin )
31 intssuni 3884 . . . . . . . 8  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
3214, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. s )
33 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( U. s  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. s
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  e.  Fin )
35 hashcl 11350 . . . . . 6  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3634, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3736nn0cnd 10020 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e.  CC )
3825, 37mulcld 8855 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
399, 38fsumcl 12206 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
40 disjdif 3526 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  (/)
4140a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( { (/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/)
} ) )  =  (/) )
42 0elpw 4180 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
43 snssi 3759 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ~P A  ->  { (/) } 
C_  ~P A )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { (/) } 
C_  ~P A
45 undif 3534 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  C_  ~P A  <->  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A )
4644, 45mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A
4746eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
4847a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) ) )
4910a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  1  e.  CC )
5049negcld 9144 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  -u 1  e.  CC )
515, 16, 18syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  s  e.  Fin )
52 hashcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5351, 52syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5450, 53expcld 11245 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  e.  CC )
551adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  U. A  e.  Fin )
56 inss1 3389 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
57 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
5855, 56, 57sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  e.  Fin )
59 hashcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  i^i  |^| s )  e.  Fin  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) )  e.  NN0 )
6058, 59syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
6160nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
6254, 61mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  e.  CC )
6341, 48, 7, 62fsumsplit 12212 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
64 inidm 3378 . . . . . . 7  |-  ( U. A  i^i  U. A )  =  U. A
6564fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( # `  ( U. A  i^i  U. A ) )  =  ( # `  U. A )
6665oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( (
# `  U. A )  -  ( # `  ( U. A  i^i  U. A
) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )
674subidd 9145 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )  =  0 )
6866, 67syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  0 )
69 incexclem 12295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  U. A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
701, 69syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
7168, 70eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
0  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
724, 39negsubd 9163 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) ) )
73 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
7410a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
1  e.  CC )
7574, 4mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  e.  CC )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
77 hash0 11355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  (/) )  =  0
7876, 77syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
7978oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
8010negcli 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
81 exp0 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
8280, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
8379, 82syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
84 ssv 3198 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. A  C_ 
_V
85 inteq 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (/)  ->  |^| s  =  |^| (/) )
86 int0 3876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| (/)  =  _V
8785, 86syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  (/)  ->  |^| s  =  _V )
8884, 87syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  U. A  C_ 
|^| s )
89 df-ss 3166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  |^| s  <->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
U. A )
9088, 89sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
U. A )
9190fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  U. A ) )
9283, 91oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( 1  x.  ( # `
 U. A ) ) )
9392sumsn 12213 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  U. A ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
9473, 75, 93sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
954mulid2d 8853 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  =  ( # `  U. A ) )
9694, 95eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
979, 38fsumneg 12249 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
-u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
98 expm1t 11130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( # `  s
)  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
9912, 22, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
10025, 12mulcomd 8856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) ) ) )
10125mulm1d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )
10299, 100, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  = 
-u ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) ) )
10326unissd 3851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  C_ 
U. A )
10432, 103sstrd 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. A )
105 dfss1 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| s  C_  U. A  <->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
|^| s )
106104, 105sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  =  |^| s
)
107106fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  |^| s ) )
108102, 107oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
10925, 37mulneg1d 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  -u ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
110108, 109eqtr2d 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) ) )
111110sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
11297, 111eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  -u
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
11396, 112oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
11472, 113eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
11563, 71, 1143eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  0 )
1164, 39, 115subeq0d 9165 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  incexc2  12297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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