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Theorem incexclem 12544
Description: Lemma for incexc 12545. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables  b 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2 uni0 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
43ineq2d 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  (/) ) )
5 in0 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( b  i^i  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  (/) )
76fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (/) ) )
8 hash0 11574 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
97, 8syl6eq 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  0 )
109oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  0 ) )
11 pweq 3746 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  ~P (/) )
12 pw0 3889 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
1311, 12syl6eq 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  { (/) } )
1413sumeq1d 12423 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
1510, 14eqeq12d 2402 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  - 
0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
1615ralbidv 2670 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
17 unieq 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
1817ineq2d 3486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. y ) )
1918fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )
2019oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) ) )
21 pweq 3746 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P y
)
2221sumeq1d 12423 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2402 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
2423ralbidv 2670 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
25 unieq 3967 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  U. ( y  u.  {
z } ) )
26 uniun 3977 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  U. { z } )
27 vex 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2827unisn 3974 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
z }  =  z
2928uneq2i 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  u.  U. { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3026, 29eqtri 2408 . . . . . . . . 9  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3125, 30syl6eq 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  ( U. y  u.  z
) )
3231ineq2d 3486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  ( U. y  u.  z )
) )
3332fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
b  i^i  U. x
) )  =  (
# `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )
3433oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) ) )
35 pweq 3746 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ~P x  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
3635sumeq1d 12423 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2402 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
3837ralbidv 2670 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
39 unieq 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
4039ineq2d 3486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. A ) )
4140fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )
4241oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) ) )
43 pweq 3746 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
4443sumeq1d 12423 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
4542, 44eqeq12d 2402 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
4645ralbidv 2670 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
47 hashcl 11567 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e. 
NN0 )
4847nn0cnd 10209 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e.  CC )
4948mulid2d 9040 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  =  ( # `  b
) )
50 0ex 4281 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
5149, 48eqeltrd 2462 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )
52 fveq2 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
5352, 8syl6eq 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
5453oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
55 neg1cn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
56 exp0 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
5854, 57syl6eq 2436 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
59 rint0 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  b )
6059fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  b
) )
6158, 60oveq12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6261sumsn 12462 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6350, 51, 62sylancr 645 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6448subid1d 9333 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  =  ( # `  b
) )
6549, 63, 643eqtr4rd 2431 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  = 
sum_ s  e.  { (/)
}  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
6665rgen 2715 . . 3  |-  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )
67 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  x
) )
68 ineq1 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  U. y ) )
6968fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )
7067, 69oveq12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) ) )
71 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  b  =  x )
7271ineq1d 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
7372fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  |^| s ) ) )
7473oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7574sumeq2dv 12425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7670, 75eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 x )  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
7776rspcva 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
7877adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
79 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
80 inss1 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  z )  C_  x
81 ssfi 7266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )
8279, 80, 81sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  z )  e.  Fin )
83 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  (
x  i^i  z )
) )
84 ineq1 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y ) )
85 in32 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  z )
86 inass 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8785, 86eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8884, 87syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )
8988fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )
9083, 89oveq12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) )
91 ineq1 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s ) )
92 in32 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  |^| s )  i^i  z
)
93 inass 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )
9492, 93eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )
9591, 94syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
9695fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
9796oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9897sumeq2sdv 12426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9990, 98eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
10099rspcva 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  z
)  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10182, 100sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10278, 101oveq12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
103 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  U. y ) 
C_  x
104 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  U. y
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  U. y )  e.  Fin )
10579, 103, 104sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  U. y
)  e.  Fin )
106 hashun3 11586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  i^i  U. y )  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) ) )
107105, 82, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  u.  ( x  i^i  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  i^i  ( x  i^i  z ) ) ) ) )
108 indi 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
)
109108fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )
110 inindi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
)
111110fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) )
112111oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) )
113107, 109, 1123eqtr4g 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )
114 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  e.  NN0 )
115105, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e. 
NN0 )
116115nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e.  CC )
117 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
11882, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
119118nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e.  CC )
120 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  C_  x
121 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e. 
Fin )
12279, 120, 121sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin )
123 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
125124nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  CC )
126116, 119, 125addsubassd 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
127113, 126eqtrd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( # `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
128127oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
129 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
130129adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
131130nn0cnd 10209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e.  CC )
132119, 125subcld 9344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
133131, 116, 132subsub4d 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
134128, 133eqtr4d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) )
135134adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  ( ( (
# `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )  -  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
136 disjdif 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/)
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/) )
138 ssun1 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
139 sspwb 4355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  <->  ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } ) )
140138, 139mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P y  C_ 
~P ( y  u. 
{ z } )
141 undif 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } )  <->  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
142140, 141mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } )
143142eqcomi 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P (
y  u.  { z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ) )
145 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  y  e.  Fin )
146 snfi 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
147 unfi 7311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
148145, 146, 147sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
149 pwfi 7338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
150148, 149sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
15155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
152 elpwi 3751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ~P ( y  u.  { z } )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
153 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  s  e.  Fin )
154148, 152, 153syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  s  e.  Fin )
155 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  s
)  e.  NN0 )
157151, 156expcld 11451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  e.  CC )
158 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  x  e.  Fin )
159 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  |^| s )  C_  x
160 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  |^| s
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e.  Fin )
161158, 159, 160sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
162 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
164163nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
165157, 164mulcld 9042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
166137, 144, 150, 165fsumsplit 12461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
167 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )
168167oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) ) )
169 inteq 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  |^| ( t  u.  {
z } ) )
17027intunsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  |^| (
t  u.  { z } )  =  (
|^| t  i^i  z
)
171169, 170syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  (
|^| t  i^i  z
) )
172171ineq2d 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( x  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )
173172fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z
) ) ) )
174168, 173oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
175 pwfi 7338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
176145, 175sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  e.  Fin )
177 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  { z } ) )  =  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u. 
{ z } ) )
178 elpwi 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ~P y  ->  u  C_  y )
179178adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  u  C_  y )
180 unss1 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u 
C_  y  ->  (
u  u.  { z } )  C_  (
y  u.  { z } ) )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( y  u.  {
z } ) )
182 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  u  e. 
_V
183 snex 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  _V
184182, 183unex 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
185184elpw 3749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( y  u.  {
z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( y  u. 
{ z } ) )
186181, 185sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( y  u. 
{ z } ) )
187 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
188 elpwi 3751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P y  ->  ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y )
189 ssun2 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
19027snss 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
191189, 190mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
z  e.  ( u  u.  { z } ) )
193 ssel 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  C_  y  ->  ( z  e.  ( u  u.  { z } )  ->  z  e.  y ) )
194192, 193syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y  ->  z  e.  y ) )
195188, 194syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P y  -> 
z  e.  y ) )
196187, 195mtod 170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  ( u  u.  {
z } )  e. 
~P y )
197186, 196eldifd 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )
198 eldifi 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
199198adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
200199elpwid 3752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
201 uncom 3435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  y
)
202200, 201syl6sseq 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( { z }  u.  y ) )
203 ssundif 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( { z }  u.  y )  <-> 
( s  \  {
z } )  C_  y )
204202, 203sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  C_  y
)
205 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
206205elpw2 4306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  \  { z } )  e.  ~P y 
<->  ( s  \  {
z } )  C_  y )
207204, 206sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  e.  ~P y )
208 elpwunsn 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  z  e.  s )
209208ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  z  e.  s )
210209snssd 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  { z } 
C_  s )
211 ssequn2 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  s  <->  ( s  u.  { z } )  =  s )
212210, 211sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  u. 
{ z } )  =  s )
213212eqcomd 2393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  s  =  ( s  u.  { z } ) )
214 uneq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( ( s 
\  { z } )  u.  { z } ) )
215 undif1 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( s  u.  {
z } )
216214, 215syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( s  u. 
{ z } ) )
217216eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  <->  s  =  ( s  u.  {
z } ) ) )
218213, 217syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  -> 
s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
219178ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  C_  y
)
220 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
221219, 220ssneldd 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  u )
222 difsnb 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  u  <->  ( u  \  { z } )  =  u )
223221, 222sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  \  { z } )  =  u )
224223eqcomd 2393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  =  ( u  \  { z } ) )
225 difeq1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( ( u  u.  { z } )  \  { z } ) )
226 difun2 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( u  \  {
z } )
227225, 226syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( u  \  { z } ) )
228227eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  u  =  ( u  \  { z } ) ) )
229224, 228syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  ->  u  =  ( s  \  { z } ) ) )
230218, 229impbid 184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
231177, 197, 207, 230f1o2d 6236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  {
z } ) ) : ~P y -1-1-onto-> ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
232 uneq1 3438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  t  ->  (
u  u.  { z } )  =  ( t  u.  { z } ) )
233 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
234233, 183unex 4648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  { z } )  e.  _V
235232, 177, 234fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P y  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
236235adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  t  e.  ~P y )  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
237198, 165sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
238174, 176, 231, 236, 237fsumf1o 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ t  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
239 uneq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  (
t  u.  { z } )  =  ( s  u.  { z } ) )
240239fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) )  =  ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) )
241240oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( -u 1 ^ ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
242 inteq 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  s  ->  |^| t  =  |^| s )
243242ineq1d 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  ( |^| t  i^i  z
)  =  ( |^| s  i^i  z ) )
244243ineq2d 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
245244fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
246241, 245oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
247246cbvsumv 12418 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
248 elpwi 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  C_  y )
249 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  s  C_  y )  -> 
s  e.  Fin )
250145, 248, 249syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  Fin )
251248adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  C_  y )
252 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
253251, 252ssneldd 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  s
)
254 hashunsng 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( s  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  s )  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) ) )
25527, 254ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  -.  z  e.  s
)  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
256250, 253, 255syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
257256oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) ) )
25855a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -u 1  e.  CC )
259250, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  s )  e.  NN0 )
260258, 259expp1d 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
261257, 260eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  -u 1
) )
262140sseli 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
263262, 157sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  e.  CC )
264258, 263mulcomd 9043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
265263mulm1d 9418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) ) )
266261, 264, 2653eqtr2d 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `
 s ) ) )
267266oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  (
-u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
268 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  C_  x
269 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
270158, 268, 269sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
271 hashcl 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
272270, 271syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
273272nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
274262, 273sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
275263, 274mulneg1d 9419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
276267, 275eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
277276sumeq2dv 12425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
278247, 277syl5eq 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
279157, 273mulcld 9042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
280262, 279sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
281176, 280fsumneg 12498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
282238, 278, 2813eqtrd 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
283282oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u. 
{ z } ) 
\  ~P y ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
284140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  C_  ~P ( y  u.  { z } ) )
285284sselda 3292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
286285, 165syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
287176, 286fsumcl 12455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
288285, 279syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
289176, 288fsumcl 12455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
290287, 289negsubd 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
291166, 283, 2903eqtrd 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
292291adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  ->  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
293102, 135, 2923eqtr4d 2430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
294293ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
295294ralrimdva 2740 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
296 ineq1 3479 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
)  =  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )
297296fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )
29867, 297oveq12d 6039 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) ) )
299 ineq1 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
300299fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )
301300oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
302301sumeq2sdv 12426 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
303298, 302eqeq12d 2402 . . . . 5  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <-> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
304303cbvralv 2876 . . . 4  |-  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
305295, 304syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
30616, 24, 38, 46, 66, 305findcard2s 7286 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
307 fveq2 5669 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  B
) )
308 ineq1 3479 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  i^i  U. A )  =  ( B  i^i  U. A ) )
309308fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) )  =  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )
310307, 309oveq12d 6039 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) ) )
311 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  b  =  B )
312311ineq1d 3485 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( B  i^i  |^| s ) )
313312fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) )
314313oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
315314sumeq2dv 12425 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
316310, 315eqeq12d 2402 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) ) )
317316rspccva 2995 . 2  |-  ( ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  /\  B  e.  Fin )  ->  (
( # `  B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
318306, 317sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   {csn 3758   U.cuni 3958   |^|cint 3993    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   -ucneg 9225   NN0cn0 10154   ^cexp 11310   #chash 11546   sum_csu 12407
This theorem is referenced by:  incexc  12545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408
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