Theorem incsequz 11879

Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values.

Assertion

Ref	Expression
incsequz	|- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))

Distinct variable groups:   m,F,n   A,m,n

Proof of Theorem incsequz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (p = 1 -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` 1))
2	1	eleq2d 1584	. . . . . 6 |- (p = 1 -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` 1)))
3	2	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (p = 1 -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1)))
4	3	imbi2d 615	. . . 4 |- (p = 1 -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))))
5		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (p = q -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` q))
6	5	eleq2d 1584	. . . . . 6 |- (p = q -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` q)))
7	6	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (p = q -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q)))
8	7	imbi2d 615	. . . 4 |- (p = q -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q))))
9		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (p = (q + 1) -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` (q + 1)))
10	9	eleq2d 1584	. . . . . 6 |- (p = (q + 1) -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
11	10	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (p = (q + 1) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
12	11	imbi2d 615	. . . 4 |- (p = (q + 1) -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
13		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (p = A -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` A))
14	13	eleq2d 1584	. . . . . 6 |- (p = A -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` A)))
15	14	rexbidv 1710	. . . . 5 |- (p = A -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
16	15	imbi2d 615	. . . 4 |- (p = A -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))))
17		r19.2z 2401	. . . . . 6 |- ((NN =/= (/) /\ A.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1)) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
18		1nn 6079	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
19		ne0i 2338	. . . . . . 7 |- (1 e. NN -> NN =/= (/))
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- NN =/= (/)
21		ffvelrn 3928	. . . . . . . 8 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. NN)
22		elnnuz 6567	. . . . . . . 8 |- ((F` n) e. NN <-> (F` n) e. (ZZ>=` 1))
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. (ZZ>=` 1))
24	23	r19.21aiva 1760	. . . . . 6 |- (F:NN-->NN -> A.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
25	17, 20, 24	sylancr 474	. . . . 5 |- (F:NN-->NN -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
26	25	adantr 389	. . . 4 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
27		leadd1 5779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. RR /\ (F` n) e. RR /\ 1 e. RR) -> (q <_ (F` n) <-> (q + 1) <_ ((F` n) + 1)))
28		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> q e. RR)
29	28	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> q e. RR)
30		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` n) e. NN -> (F` n) e. RR)
31	21, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
32	31	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
33	32	adantll 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
34		1re 5589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
35	34	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> 1 e. RR)
36	27, 29, 33, 35	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . 12 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (q <_ (F` n) <-> (q + 1) <_ ((F` n) + 1)))
37		nnltp1le 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F` n) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. NN) -> ((F` n) < (F` (n + 1)) <-> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))))
38		ffvelrn 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. NN)
39		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n e. NN -> (n + 1) e. NN)
40	38, 39	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. NN)
41	37, 21, 40	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> ((F` n) < (F` (n + 1)) <-> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))))
42	41	biimpa 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ (F` n) < (F` (n + 1))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
43	42	anasss 442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->NN /\ (n e. NN /\ (F` n) < (F` (n + 1)))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
44		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = n -> (F` m) = (F` n))
45		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = n -> (m + 1) = (n + 1))
46	45	fveq2d 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = n -> (F` (m + 1)) = (F` (n + 1)))
47	44, 46	breq12d 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m = n -> ((F` m) < (F` (m + 1)) <-> (F` n) < (F` (n + 1))))
48	47	rcla4v 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. NN -> (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) -> (F` n) < (F` (n + 1))))
49	48	imdistani 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (n e. NN /\ (F` n) < (F` (n + 1))))
50	43, 49	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ (n e. NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
51	50	ancom2s 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ n e. NN)) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
52	51	anassrs 443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
53	52	adantll 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
54		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q + 1) e. RR /\ ((F` n) + 1) e. RR /\ (F` (n + 1)) e. RR) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
55		peano2re 5590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (q e. RR -> (q + 1) e. RR)
56	28, 55	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (q e. NN -> (q + 1) e. RR)
57	56	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (q + 1) e. RR)
58		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` n) e. NN -> ((F` n) + 1) e. NN)
59		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` n) + 1) e. NN -> ((F` n) + 1) e. RR)
60	21, 58, 59	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) e. RR)
61	60	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) e. RR)
62		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` (n + 1)) e. NN -> (F` (n + 1)) e. RR)
63	38, 62	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
64	63, 39	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
65	64	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
66	54, 57, 61, 65	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
67	66	adantlrr 399	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
68	53, 67	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . 12 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((q + 1) <_ ((F` n) + 1) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
69	36, 68	sylbid 201	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (q <_ (F` n) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
70		eluz 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((q e. ZZ /\ (F` n) e. ZZ) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
71		nnz 6321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> q e. ZZ)
72		nnz 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) e. NN -> (F` n) e. ZZ)
73	21, 72	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. ZZ)
74	70, 71, 73	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ n e. NN)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
75	74	adantrlr 401	. . . . . . . . . . . 12 |- ((q e. NN /\ ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
76	75	anassrs 443	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
77		eluz 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((q + 1) e. ZZ /\ (F` (n + 1)) e. ZZ) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
78	71	peano2zdi 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> (q + 1) e. ZZ)
79		nnz 6321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` (n + 1)) e. NN -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
80	38, 79	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
81	80, 39	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
82	77, 78, 81	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ n e. NN)) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
83	82	adantrlr 401	. . . . . . . . . . . 12 |- ((q e. NN /\ ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN)) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
84	83	anassrs 443	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
85	69, 76, 84	3imtr4d 546	. . . . . . . . . 10 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))))
86	39	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (n + 1) e. NN)
87	85, 86	jctild 604	. . . . . . . . 9 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> ((n + 1) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
88		fveq2 3835	. . . . . . . . . . 11 |- (k = (n + 1) -> (F` k) = (F` (n + 1)))
89	88	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (k = (n + 1) -> ((F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))))
90	89	rcla4ev 1923	. . . . . . . . 9 |- (((n + 1) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)))
91	87, 90	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1))))
92	91	r19.23adva 1793	. . . . . . 7 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1))))
93		fveq2 3835	. . . . . . . . 9 |- (k = n -> (F` k) = (F` n))
94	93	eleq1d 1583	. . . . . . . 8 |- (k = n -> ((F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
95	94	cbvrexv 1847	. . . . . . 7 |- (E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))
96	92, 95	syl6ib 210	. . . . . 6 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
97	96	ex 371	. . . . 5 |- (q e. NN -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
98	97	a2d 13	. . . 4 |- (q e. NN -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q)) -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
99	4, 8, 12, 16, 26, 98	nnind 6082	. . 3 |- (A e. NN -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
100	99	com12 11	. 2 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (A e. NN -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
101	100	3impia 836	1 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  A.wral 1691  E.wrex 1692  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  RRcr 5387  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450  ZZcz 5452   < clt 5640  ZZ>=cuz 6544

This theorem is referenced by:  incsequz2 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-uz 6545

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