MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indexfi Unicode version

Theorem indexfi 7250
Description: If for every element of a finite indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a finite subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A. Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 25737. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indexfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, A    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexfi
Dummy variables  f  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1619 . . . . . 6  |-  F/ z
ph
2 nfsbc1v 3086 . . . . . 6  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
3 sbceq1a 3077 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph ) )
41, 2, 3cbvrex 2837 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )
54ralbii 2643 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  / 
y ]. ph )
6 dfsbcq 3069 . . . . 5  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
76ac6sfi 7188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
85, 7sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
9 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A  e.  Fin )
10 ffn 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
1110ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f  Fn  A )
12 dffn4 5537 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  <->  f : A -onto-> ran  f )
1311, 12sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f : A -onto-> ran  f )
14 fofi 7229 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
16 frn 5475 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1716ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  C_  B )
18 fnfvelrn 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
1910, 18sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
20 rspesbca 3147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2120ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2219, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2322ralimdva 2697 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
2423imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
2524adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
26 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  A )
27 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
28 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
29 nfsbc1v 3086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. w  /  x ]. [. ( f `  w )  /  y ]. ph
30 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
31 dfsbcq 3069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  w )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
33 sbceq1a 3077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  w
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3432, 33bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3528, 29, 34cbvral 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3627, 35sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3736r19.21bi 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
38 rspesbca 3147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  A  /\  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph )  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3926, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
4039ralrimiva 2702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
41 dfsbcq 3069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w )  /  y ]. ph ) )
4241rexbidv 2640 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  E. x  e.  A  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
4342ralrn 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4411, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4540, 44mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  / 
y ]. ph )
46 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
47 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
4847, 2nfrex 2674 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph
493rexbidv 2640 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
)
5046, 48, 49cbvral 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph  <->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
5145, 50sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
52 sseq1 3275 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
53 rexeq 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5453ralbidv 2639 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
55 raleq 2812 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5652, 54, 553anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5756rspcev 2960 . . . . . 6  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e. 
ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
5815, 17, 25, 51, 57syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
5958ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
6059exlimdv 1636 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
) )
618, 60mpd 14 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
62613adant2 974 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   [.wsbc 3067    C_ wss 3228   ran crn 4769    Fn wfn 5329   -->wf 5330   -onto->wfo 5332   ` cfv 5334   Fincfn 6948
This theorem is referenced by:  indexfiOLD  25738  filbcmb  25756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-1o 6563  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-fin 6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator