Theorem indstr 6588

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema).

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))
indstr.2	|- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- (x e. NN -> ph)

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 661	. . . . . 6 |- -. (ph /\ -. ph)
2		lenlt 5664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x <_ y <-> -. y < x))
3		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
4		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x <_ y <-> -. y < x))
6	5	imbi2d 615	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (-. ps -> -. y < x)))
7		con34b 164	. . . . . . . . . . 11 |- ((y < x -> ps) <-> (-. ps -> -. y < x))
8	6, 7	syl6bbr 541	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (y < x -> ps)))
9	8	ralbidva 1705	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) <-> A.y e. NN (y < x -> ps)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))
11	9, 10	sylbid 201	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) -> ph))
12	11	anim2d 564	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (-. ph /\ ph)))
13		ancom 437	. . . . . . 7 |- ((-. ph /\ ph) <-> (ph /\ -. ph))
14	12, 13	syl6ib 210	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (ph /\ -. ph)))
15	1, 14	mtoi 106	. . . . 5 |- (x e. NN -> -. (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
16	15	nrex 1775	. . . 4 |- -. E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y))
17		indstr.1	. . . . . 6 |- (x = y -> (ph <-> ps))
18	17	notbid 614	. . . . 5 |- (x = y -> (-. ph <-> -. ps))
19	18	nnwos 6587	. . . 4 |- (E.x e. NN -. ph -> E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
20	16, 19	mto 105	. . 3 |- -. E.x e. NN -. ph
21		dfral2 1701	. . 3 |- (A.x e. NN ph <-> -. E.x e. NN -. ph)
22	20, 21	mpbir 188	. 2 |- A.x e. NN ph
23	22	rspec 1743	1 |- (x e. NN -> ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692   class class class wbr 2692  RRcr 5387   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 6927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-uz 6545

Copyright terms: Public domain