Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Unicode version

Theorem indval2 23600
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )

Proof of Theorem indval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5368 . . . . 5  |-  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) )  =  U_ x  e.  O  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )  = 
U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
3 indval 23599 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
4 undif 3536 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  O  <->  ( A  u.  ( O  \  A
) )  =  O )
54biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
65adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
76iuneq1d 3930 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  ->  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
82, 3, 73eqtr4d 2327 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A
) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
9 iunxun 3985 . . 3  |-  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
108, 9syl6eq 2333 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  (
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) ) )
11 iftrue 3573 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
1211sneqd 3655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
1 } )
1312xpeq2d 4715 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1413rgen 2610 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } )
15 iuneq2 3923 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } )
17 iunxpconst 4748 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
1 } )  =  ( A  X.  {
1 } )
1816, 17eqtri 2305 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( A  X.  {
1 } )
19 eldifn 3301 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
20 iffalse 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
2120sneqd 3655 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  { 0 } )
2219, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
0 } )
2322xpeq2d 4715 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } ) )
2423rgen 2610 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } )
25 iuneq2 3923 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } )  ->  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  {
0 } )
27 iunxpconst 4748 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } )  =  ( ( O  \  A )  X.  { 0 } )
2826, 27eqtri 2305 . . 3  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( ( O  \  A
)  X.  { 0 } )
2918, 28uneq12i 3329 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )  =  ( ( A  X.  { 1 } )  u.  ( ( O 
\  A )  X. 
{ 0 } ) )
3010, 29syl6eq 2333 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545    \ cdif 3151    u. cun 3152    C_ wss 3154   ifcif 3567   {csn 3642   U_ciun 3907    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   ` cfv 5257   0cc0 8739   1c1 8740  𝟭cind 23596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ind 23597
  Copyright terms: Public domain W3C validator