Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Unicode version

Theorem indval2 24404
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )

Proof of Theorem indval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5559 . . . 4  |-  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) )  =  U_ x  e.  O  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )
2 indval 24403 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 undif 3700 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  O  <->  ( A  u.  ( O  \  A
) )  =  O )
43biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
65iuneq1d 4108 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  ->  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
71, 2, 63eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A
) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
8 iunxun 4164 . . 3  |-  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
97, 8syl6eq 2483 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  (
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) ) )
10 iftrue 3737 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
1110sneqd 3819 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
1 } )
1211xpeq2d 4894 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1312iuneq2i 4103 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } )
14 iunxpconst 4926 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
1 } )  =  ( A  X.  {
1 } )
1513, 14eqtri 2455 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( A  X.  {
1 } )
16 eldifn 3462 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
17 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817sneqd 3819 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  { 0 } )
1916, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
0 } )
2019xpeq2d 4894 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } ) )
2120iuneq2i 4103 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  {
0 } )
22 iunxpconst 4926 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } )  =  ( ( O  \  A )  X.  { 0 } )
2321, 22eqtri 2455 . . 3  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( ( O  \  A
)  X.  { 0 } )
2415, 23uneq12i 3491 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )  =  ( ( A  X.  { 1 } )  u.  ( ( O 
\  A )  X. 
{ 0 } ) )
259, 24syl6eq 2483 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806   U_ciun 4085    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ` cfv 5446   0cc0 8982   1c1 8983  𝟭cind 24400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ind 24401
  Copyright terms: Public domain W3C validator