MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 9752
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9231 . . 3  |-  _i  =/=  0
2 df-ne 2461 . . 3  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
31, 2mpbi 199 . 2  |-  -.  _i  =  0
4 0lt1 9312 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
75, 6ltnsymi 8953 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
84, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  1  <  0
9 ixi 9413 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
106renegcli 9124 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
119, 10eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
125, 11, 6ltadd1i 9343 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
13 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1413addid2i 9016 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
15 ax-i2m1 8821 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1614, 15breq12i 4048 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1712, 16bitri 240 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
188, 17mtbir 290 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
19 msqgt0 9310 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 423 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2120necon1bd 2527 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2218, 21mpi 16 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
233, 22mto 167 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  rimul  9753  nthruc  12545  areacirclem5  25032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator