MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 9690
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9169 . . 3  |-  _i  =/=  0
2 df-ne 2421 . . 3  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
31, 2mpbi 201 . 2  |-  -.  _i  =  0
4 0lt1 9250 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 8792 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 1re 8791 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
75, 6ltnsymi 8891 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
84, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  -.  1  <  0
9 ixi 9351 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
106renegcli 9062 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
119, 10eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
125, 11, 6ltadd1i 9281 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
13 ax-1cn 8749 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1413addid2i 8954 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
15 ax-i2m1 8759 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1614, 15breq12i 3992 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1712, 16bitri 242 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
188, 17mtbir 292 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
19 msqgt0 9248 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 425 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2120necon1bd 2487 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2218, 21mpi 18 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
233, 22mto 169 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3983  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692   _ici 8693    + caddc 8694    x. cmul 8696    < clt 8821   -ucneg 8992
This theorem is referenced by:  rimul  9691  nthruc  12477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator