MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Unicode version

Theorem inelr 9990
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9469 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2603 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 9550 . . . . 5  |-  0  <  1
4 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 1re 9090 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 9192 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  1  <  0
8 ixi 9651 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 9362 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 9581 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1312addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 9058 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 4221 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 241 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 291 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 msqgt0 9548 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918ex 424 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2019necon1bd 2672 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2117, 20mpi 17 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
222, 21mto 169 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120   -ucneg 9292
This theorem is referenced by:  rimul  9991  nthruc  12850  areacirclem4  26295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator