MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 9732
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9211 . . 3  |-  _i  =/=  0
2 df-ne 2450 . . 3  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
31, 2mpbi 201 . 2  |-  -.  _i  =  0
4 0lt1 9292 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 8834 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 1re 8833 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
75, 6ltnsymi 8933 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
84, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  -.  1  <  0
9 ixi 9393 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
106renegcli 9104 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
119, 10eqeltri 2355 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
125, 11, 6ltadd1i 9323 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
13 ax-1cn 8791 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1413addid2i 8996 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
15 ax-i2m1 8801 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1614, 15breq12i 4034 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1712, 16bitri 242 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
188, 17mtbir 292 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
19 msqgt0 9290 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 425 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2120necon1bd 2516 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2218, 21mpi 18 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
233, 22mto 169 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   class class class wbr 4025  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734   _ici 8735    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863   -ucneg 9034
This theorem is referenced by:  rimul  9733  nthruc  12524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator