Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf0 Structured version   Unicode version

Theorem inf0 7576
 Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " " exists, is a subset of its union, and contains a given set (and thus is non-empty). Thus, it provides an example demonstrating that a set exists with the necessary properties demanded by ax-inf 7593. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1
Assertion
Ref Expression
inf0
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem inf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2959 . . . 4
2 fr0g 6693 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 frfnom 6692 . . . 4
5 peano1 4864 . . . 4
6 fnfvelrn 5867 . . . 4
74, 5, 6mp2an 654 . . 3
83, 7eqeltrri 2507 . 2
9 fvelrnb 5774 . . . . 5
104, 9ax-mp 8 . . . 4
11 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
1211sucid 4660 . . . . . . . . 9
1311sucex 4791 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
15 suceq 4646 . . . . . . . . . . 11
16 suceq 4646 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16frsucmpt2 6697 . . . . . . . . . 10
1813, 17mpan2 653 . . . . . . . . 9
1912, 18syl5eleqr 2523 . . . . . . . 8
20 eleq1 2496 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ib 211 . . . . . . 7
22 peano2b 4861 . . . . . . . . 9
23 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . 10
244, 23mpan 652 . . . . . . . . 9
2522, 24sylbi 188 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
2721, 26jcad 520 . . . . . 6
28 fvex 5742 . . . . . . 7
29 eleq2 2497 . . . . . . . 8
30 eleq1 2496 . . . . . . . 8
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . 7
3228, 31spcev 3043 . . . . . 6
3327, 32syl6com 33 . . . . 5
3433rexlimiv 2824 . . . 4
3510, 34sylbi 188 . . 3
3635ax-gen 1555 . 2
37 fndm 5544 . . . . . 6
384, 37ax-mp 8 . . . . 5
39 inf0.1 . . . . 5
4038, 39eqeltri 2506 . . . 4
41 fnfun 5542 . . . . 5
424, 41ax-mp 8 . . . 4
43 funrnex 5967 . . . 4
4440, 42, 43mp2 9 . . 3
45 eleq2 2497 . . . 4
46 eleq2 2497 . . . . . 6
47 eleq2 2497 . . . . . . . 8
4847anbi2d 685 . . . . . . 7
4948exbidv 1636 . . . . . 6
5046, 49imbi12d 312 . . . . 5
5150albidv 1635 . . . 4
5245, 51anbi12d 692 . . 3
5344, 52spcev 3043 . 2
548, 36, 53mp2an 654 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956  c0 3628   cmpt 4266   csuc 4583  com 4845   cdm 4878   crn 4879   cres 4880   wfun 5448   wfn 5449  cfv 5454  crdg 6667 This theorem is referenced by:  axinf  7599 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
 Copyright terms: Public domain W3C validator