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Theorem inf0 7206
Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) " exists, is a subset of its union, and contains a given set  x (and thus is non-empty). Thus it provides an example demonstrating that a set  y exists with the necessary properties demanded by ax-inf 7223. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1  |-  om  e.  _V
Assertion
Ref Expression
inf0  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem inf0
StepHypRef Expression
1 vex 2730 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 fr0g 6334 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  (/) )  =  x )
31, 2ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  =  x
4 frfnom 6333 . . . 4  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 4566 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 5514 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 656 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
83, 7eqeltrri 2324 . 2  |-  x  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
9 fvelrnb 5422 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  =  z ) )
104, 9ax-mp 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z )
11 fvex 5391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  _V
1211sucid 4364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )
1311sucex 4493 . . . . . . . . . 10  |-  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V
14 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
15 suceq 4350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  suc  z  =  suc  v )
16 suceq 4350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  ->  suc  z  =  suc  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
) )
1714, 15, 16frsucmpt2 6338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  om  /\  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f ) )
1813, 17mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f ) )
1912, 18syl5eleqr 2340 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) )
20 eleq1 2313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  <->  z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
2119, 20syl5ib 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
22 peano2b 4563 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  <->  suc  f  e. 
om )
23 fnfvelrn 5514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  suc  f  e. 
om )  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
244, 23mpan 654 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  f  e.  om  ->  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2522, 24sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2625a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
2721, 26jcad 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
28 fvex 5391 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e.  _V
29 eleq2 2314 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f ) ) )
30 eleq1 2313 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3129, 30anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )  <-> 
( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
3228, 31cla4ev 2812 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3327, 32syl6com 33 . . . . 5  |-  ( f  e.  om  ->  (
( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
3433rexlimiv 2623 . . . 4  |-  ( E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3510, 34sylbi 189 . . 3  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3635ax-gen 1536 . 2  |-  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) )
37 fndm 5200 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  dom  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  =  om )
384, 37ax-mp 10 . . . . 5  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  om
39 inf0.1 . . . . 5  |-  om  e.  _V
4038, 39eqeltri 2323 . . . 4  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
41 fnfun 5198 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  Fun  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )
424, 41ax-mp 10 . . . 4  |-  Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
43 funrnex 5599 . . . 4  |-  ( dom  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V  ->  ( Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V ) )
4440, 42, 43mp2 19 . . 3  |-  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
45 eleq2 2314 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( x  e.  y  <-> 
x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
46 eleq2 2314 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( z  e.  y  <-> 
z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
47 eleq2 2314 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
4847anbi2d 687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
4948exbidv 2005 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
5046, 49imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  ( z  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) )
5150albidv 2004 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) ) )
5245, 51anbi12d 694 . . 3  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) ) )
5344, 52cla4ev 2812 . 2  |-  ( ( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
548, 36, 53mp2an 656 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727   (/)c0 3362    e. cmpt 3974   suc csuc 4287   omcom 4547   dom cdm 4580   ran crn 4581    |` cres 4582   Fun wfun 4586    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   reccrdg 6308
This theorem is referenced by:  axinf  7229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
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